Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 127
Rand von B, also ∫ f (z) dz = ∫ ∂B γ
gegeben ist.
f (z) dz, wobei γ : [0, 1] → D durch γ(t) = a + re2πit
Satz 10.3.1 (Cauchy-Integralformel)
Sei D ⊂ C eine offenen Menge und f : D → V eine holomorphe Funktion mit Werten im
Banach-Raum V.
Sei B ⊂ C eine offene Kreisscheibe, deren Abschluss in D enthalten ist. Für jedes z ∈ B gilt
f (z) = 1 ∫
f (ξ)
2πi ∂B ξ − z dξ.
Beweis: Sei α : V → C ein stetiges lineares Funktional. Dann gilt
α
( ∫ )
1 f (ξ)
2πi ∂B ξ − z dξ = 1 ∫
α( f (ξ))
dξ = α( f (z)),
2πi ∂B ξ − z
wobei wir Cauchys Integralformel für C-wertige Funktionen verwendet haben. Also
stimmen die beiden Seiten der behaupteten Gleichheit überein, wenn man ein
beliebiges stetiges lineares Funktional anwendet. Da nach dem Hahn-Banach-Satz die
stetigen linearen Funktionale die Punkte von V trennen, folgt die behauptete
Gleichheit.
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Korollar 10.3.2 In der Situation des Satzes sei B eine offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt a,
deren Abschluss in D enthalten ist. Dann gibt es Vektoren v n ∈ V so dass
f (z) =
∞∑
(z − a) n v n
n=0
für jedes z ∈ B gilt, wobei die Summe kompakt-gleichmässig auf B konvergiert.
Beweis: Es reicht, a = 0 anzunehmen. Ist z ∈ B und ξ ∈ ∂B, dann gilt |z/ξ| < 1, also
konvergiert die geometrische Reihe
∞∑
(z/ξ) n =
n=0
1
1 − z/ξ