Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 69
fast überall in t ∈ T gilt. Für t λ heisst das aber f (t) = 0, also f = 0 fast überall.
Zum zweiten sei λ ∈ C [0, 1], dann ist T invertierbar, der Inverse Operator ist S mit
S( f )(t) = 1
t − λ f (t).
Schliesslich sei λ ∈ [0, 1]. Angenommen, T − λ wäre surjektiv. Dann gäbe es f ∈ L 2 (0, 1)
mit (T − λ)( f ) = 1 (konstante Funktion). Es wäre also (t − λ) f (t) = 1 fast überall, also
f (t) = 1
t − λ
fast überall. Diese Funktion liegt aber nicht in L 2 . Widerspruch!
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Lemma 6.1.6 Für einen stetigen Operator T auf einem Hilbert-Raum H gilt
σ(T ∗ ) = σ(T).
Beweis: Ein Operator S ist genau dann invertierbar, wenn S ∗ invertierbar ist. Wegen
(T ∗ − λ) = (T − λ) ∗ folgt, dass λ genau dann in der Resolventenmenge von T ∗ liegt,
wenn λ in der Resolventenmenge von T ist.
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Die Einheitengruppe von B(H) ist die Gruppe B(H) × aller invertierbaren Operatoren
in B(H).
Satz 6.1.7 (a) Die Einheitengruppe B(H) × ist eine offene Teilmenge von B(H). Die
Inversion T ↦→ T −1 ist eine stetige Abbildung B(H) × → B(H) × .
(b) Die Abbildung φ T : C → B(H) mit
φ T (λ) = T − λ
ist stetig. Die Resolventenmenge Res(T) ist eine offene und das Spektrum eine
abgeschlossene Teilmenge von C.
(c) Das Spektrum von T ∈ B(H) ist eine abgeschlossene Teilmenge der abgeschlossenen
Kreisscheibe B ||T|| (0) ⊂ C.
Beweis: (a) Wir zeigen zunächst, dass B(H) × eine offene Umgebung der Identität