Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 90
Damit ist es ein Orthonormalsystem. Um die Vollständigkeit zu zeigen sei
h ∈ l 2 (N × N) senkrecht auf allen (φ i φ j ). Dann gilt bei absoluter Konvergenz der Reihe,
0 = 〈 ⎛
⎞
〉 ∑
∑ ∑
h, φ i φ j = h(m, n)φ i (m)φ j (n) = ⎜⎝ h(m, n)φ i (m) ⎟⎠ φ j(n).
m,n
n m
Da (φ j ) eine ONB ist, folgt
∑
h(m, n)φ i (m) = 0
m
für jedes n ∈ N, woraus mit derselben Begründung folgt h(m, n) = 0 für alle m, n.
Wir entwickeln k in dieser ONB und erhalten
∑
k(n, m) = c i,j φ i (n)φ j (m),
i,j
wobei
c i,j = 〈 〉 ∑
k, φ i φ j = k(m, n)φ i (m)φ j (n)
m,n
⎛
⎞
∑ ∑
= ⎜⎝ k(m, n)φ j (n) ⎟⎠ φ i(m)
m n
∑ (
= Tk φ j (m) ) ∑
〈 〉
φ i (m) = λ j φ j (m)φ i (m) = λ j φj , φ i = λj δ i,j .
m
m
□
7.2 Hilbert-Schmidt-Operatoren
Sei T ∈ B(H), und sei (e j ) eine Orthonormalbasis von H. Die Hilbert-Schmidt-Norm
||T|| HS von T ist definiert als
||T|| 2 HS
def
=
∑ 〈 〉
Tej , Te j .
j
Diese Zahl ist ≥ 0 und kann den Wert +∞ annehmen. Wir zeigen jetzt, dass diese Zahl
nicht von der Wahl der ONB abhängt.
Zunächst halten wir fest, dass für zwei Vektoren v, w ∈ H und eine beliebige ONB (e j )
gilt
∑ 〈 〉 〈
〈v, w〉 = v, ej ej , w 〉 .
j