Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 84
7 Kompakte Operatoren
7.1 Spektralsatz für normale kompakte Operatoren
Ein Operator T auf einem Hilbert-Raum H heisst kompakter Operator, falls T
beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen abbildet.
Ist T kompakt und S beschränkt, dann sind ST und TS kompakt.
Man kann die Definition wie folgt umformulieren: T ist genau dann kompakt, wenn
zu jeder beschränkten Folge v j ∈ H die Folge Tv j eine konvergente Teilfolge hat.
Liegen die v j alle in einem endlich-dimensionalen Raum, dann gilt dies für jeden
stetigen Operator. Es reicht daher, linear unabhängige Folgen (v j ) zu betrachten.
Eine lineare Abbildung F : H → H auf einem Hilbert-Raum H heisst von endlichem
Rang, falls das Bild F(H) endlich-dimensional ist.
Beispiele 7.1.1
• Jeder Operator von endlichem Rang ist kompakt.
• Der Operator T = Id H ist genau dann kompakt, wenn H endlich-dimensional ist.
• Sei k ∈ l 2 (N × N) und definiere den Operator T : H → H = l 2 (N) durch
∑
Tϕ(i) = k(i, j)ϕ(j).
j∈N
Wir zeigen, dass T kompakt ist. Sei hierzu ϕ n eine beschränkte Folge in H, also
etwa ∣ ∣ ∣∣ϕ
∣ ∣∣ ∣∣ ≤ C < ∞. Es gilt dann nach der Hoelder-Ungleichung:
1 ∑
∑
2
|Tϕ n (i)| =
k(i, j)ϕ n (j)
∣
⎛⎜
∣ ≤ ∣
|k(i, j)| 2 ∣∣ ∣∣ϕn
∣ ∣∣ ∣∣
⎝
⎞⎟ ≤ ci C.
⎠
j
j
}{{}
=c i
Insbesondere ist für jedes i die Folge Tϕ n (i) beschränkt, hat also eine
konvergente Teilfolge. Es gibt daher eine Teilfolge ϕ 1 n von ϕ n so dass Tϕ 1 n(1)
konvergiert. Diese hat dann wieder eine Teilfolge ϕ 2 n so dass auch Tϕ 2 n(2)
konvergiert. Iterativ finden wir zu jedem j eine Teilfolge ϕ j n so dass die Folgen
Tϕn(1), j . . . , Tϕn(j) j alle konvergieren. Die Folge Tϕ n n konvergiert dann