Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 112
Definition 9.2.7 Ein topologischer Vektorraum V heisst lokalkonvex, falls er eine
Nullumgebungsbasis von offenen konvexen ausgewogenen Teilmengen besitzt.
Definition 9.2.8 Sei V ein komplexer Vektorraum. Eine Familie (p α ) α∈A von
Halbnormen heisst positiv definit, falls
p α (v) = 0 ∀ α∈A ⇒ v = 0.
Die Topologie, die erzeugt wird von allen offenen Bällen
B r (v, p α ) = {w ∈ V : p α (v − w) < r},
mit r > 0, v ∈ V und α ∈ A, heisst die Topologie, die von der Familie (p α ) erzeugt wird.
Satz 9.2.9 (a) Sei der komplexe Vektorraum V mit der Topologie der Familie von
Halbnormen (p α ) α∈A versehen. Dann konvergiert ein Netz v i in V genau dann gegen
v ∈ V, wenn für jedes α ∈ A das Netz p α (v i − v) in C gegen Null geht.
(b) Die von einer Familie von Halbnormen erzeugte Topologie auf einem Vektorraum V
macht den Raum V genau dann zu einem topologischen Vektorraum, wenn die
Familie positiv definit ist.
(c) Ein topologischer Vektorraum V ist genau dann lokalkonvex, wenn es eine Familie
von Halbnormen gibt, die die Topologie erzeugt.
(d) Ist V lokalkonvex und ist (p i ) eine Familie wie in (b), dann ist jede Halbnorm p i eine
stetige Abbildung. Die Topologie eines lokalkonvexen Raums V wird von allen
stetigen Halbnormen erzeugt.
(e) Ist V ein lokalkonvexer Raum, dann ist die Familie aller Bälle
B p (1) = {v ∈ V : p(v) < 1},
wobei p über alle stetigen Halbnormen läuft, eine Nullumgebungsbasis.
Beweis: (a) Es konvergiere v i → v. Sei α ∈ A und sei ε > 0. Dann ist B ε (v, p α ) eine
Umgebung von v, also gibt es ein i 0 ∈ I so dass i ≥ i 0 ⇒ v i ∈ B ε (v, p α ), was soviel heisst