Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 62
5.3 Projektionen
Erinnerung: Ein stetiger Operator P auf einem Hilbert-Raum H ist eine Projektion
oder ein Projektionsoperator, falls gilt
P 2 = P.
Satz 5.3.1 Sei P ein stetiger Projektionsoperator auf einem Hilbert-Raum H. Dann ist das
Bild Bild(P) abgeschlossen und es gilt
H = Ker(P) ⊕ Bild(P).
Stehen Kern und Bild senkrecht aufeinander, so nennen wir P eine
Orthogonalprojektion.
Eine Projektion P ist genau dann eine Orthogonalprojektion, wenn sie selbstadjungiert ist,
also wenn P = P ∗ .
Beweis: Sei zunächst v ∈ Ker(P) ∩ Bild(P), dann gibt es w mit v = Pw. Es folgt
v = Pw = P 2 w = P(Pw) = P(v) = 0.
Damit ist die Summe direkt. Sei nun v ∈ H, dann ist v = (v − P(v)) + P(v) und
v − P(v) ∈ Ker(P), denn P(v − P(v)) = P(v) − P 2 (v) = P(v) − P(v) = 0. Damit ist die
Summenzerlegung gezeigt. Das Bild ist abgeschlossen, denn für v ∈ H gilt
v ∈ Bild(P) ⇔ v = P(v) ⇔ (P − 1)v = 0,
also gilt Bild(P) = Ker(P − 1) und damit ist Bild(P) abgeschlossen.
Sei nun P eine Orthogonalprojektion, die Summe also orthogonal. Jedes v ∈ H zerlegt
sich dann eindeutig als v = v 0 + P(v) mit v 0 ∈ Ker(P). Für v, w ∈ H gilt
〈Pv, w〉 = 〈Pv, w 0 + Pw〉 = 〈Pv, w 0 〉 + 〈Pv, Pw〉
}{{}
=0
= 〈Pv, Pw〉 + 〈v 0 , Pw〉 = 〈v, Pw〉 .