Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 103
w = φ( f )v erhalten wir
also ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣φ( f )v
∣ ∣∣
∣ ∣∣ ≤ 2C ||v||.
∣ ∣ ∣ ∣φ( f )v
∣ ∣∣
∣ ∣∣ 2
= |
〈
φ( f )v, φ( f )v
〉
| ≤ 2C ||v||
∣ ∣∣
∣ ∣∣φ( f )v
∣ ∣∣
∣ ∣∣ ,
Wir behaupten nun, dass φ( f g) = φ( f )φ(g) für alle beschränkten messbaren
Funktionen f, g auf σ(T) gilt. Hierzu beachte, dass diese Gleichung für f, g ∈ C(σ(T))
richtig ist, also
∫
σ(T)
f (t)g(t) dµ v,w (t) = 〈 φ( f g)v, w 〉 = 〈 φ( f )φ(g)v, w 〉 ∫
=
σ(T)
f (t) dµ g(T)v,w .
Die Gleichheit dieser Integrale bleibt erhalten, wenn f durch eine beschränkte
messbare Funktion ersetzt wird. In diesem Fall schreiben wir dann
∫
f (t)g(t) dµ v,w (t) = 〈 φ( f g)v, w 〉 = 〈 φ(g)v, φ( f ) ∗ w 〉 ∫
= g(t) dµ v,φ( f ) ∗ w.
σ(T)
Jetzt können wir auch g durch eine beschränkte messbare Funktion ersetzen, so dass
wir erhalten
〈
φ( f g)v, w
〉
=
∫
σ(T)
∫
f g dµ v,w =
σ(T)
g dµ v,φ( f ) ∗ w
σ(T)
= 〈 φ(g)v, φ( f ) ∗ w 〉 = 〈 φ( f )φ(g)v, w 〉 .
Die Gleichung φ( f ) ∗ = φ( f ∗ ) vererbt sich ebenfalls von C(σ(T)) auf alle beschränkten
messbaren Funktionen. Wir definieren nun µ(A) = φ(1 A ) für eine messbare Teilmenge
A ⊂ σ(T). Dann ist µ(A) eine Orthogonalprojektion. Die Eigenschaften eines
Spektralmaßes sind erfüllt.
□
Beispiel 8.2.2 Sei H = L 2 ([0, 1]) und T : H → H definiert durch
T(ϕ)(x) = xφ(x).
Dann ist das Spektralmaß µ gegeben durch
µ(A)ϕ(x) = 1 A (x)ϕ(x).
Dass dies ein Spektralmaß ist, haben wir uns schon überlegt. Wir beweisen nun, dass