Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 63
Daher ist P selbstadjungiert.
Für die Umkehrung sei P eine selbstadjungierte Projektion. Sei v ∈ Bild(P) und
w ∈ Ker(P). Dann gilt
〈v, w〉 = 〈Pv, w〉 = 〈v, Pw〉 = 0.
Also ist P eine Orthogonalprojektion.
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Beispiele 5.3.2
• Ist v 0 ∈ H mit ||v 0 || = 1, dann ist die Abbildung
P(v) = 〈v, v 0 〉 v 0
die Orthogonalprojektion auf den eindimensionalen Unterraum U = Cv 0 .
• Sei H = L 2 ([0, 1]) und sei A ⊂ [0, 1] eine messbare Teilmenge. Die Abbildung
P A : H → H definiert durch
P A ϕ(x) = 1 A (x)ϕ(x)
ist eine Orthogonalprojektion. mit Bild isomorph zu L 2 (A).
• Sei (X, A , µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, also ein Maßraum mit µ(X) = 1 und
sei B ⊂ A eine Unter-σ-Algebra. Der Raum L 2 (µ| B
) aller B -messbaren
L 2 -Funktionen ist ein abgeschlossener Teilraum von L 2 (µ). Sei P B
die
Orthogonalprojektion mit Bild L 2 (µ| B
). In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist P B
als bedingter Erwartungswert bekannt. Als Beispiel betrachten wir den Fall
B = {∅, X}. Dann ist L 2 (µ| B
) der Raum der konstanten Funktionen und daher ist
P B
(ϕ) = 〈 ϕ, 1 〉 ∫
· 1 =
X
ϕ(x) dµ(x) · 1.
Lemma 5.3.3 Für eine Orthogonalprojektion P gilt ||P(v)|| ≤ ||v|| und
||Pv|| = ||v|| ⇔ Pv = v.
Beweis: klar.
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Satz 5.3.4 Seien P 1 , P 2 Orthogonalprojektionen auf einem Hilbert-Raum H. Seien V 1 und
V 2 die Bildräume, also P i (H) = V i . Dann sind äquivalent: