Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 39
das heisst, die Abbildung ||·|| : K n → R ist bezüglich der euklidischen Norm stetig.
Also ist das Bild der Menge S = {v ∈ K n : ||v|| eukl = 1} kompakt. Da 0 S, folgt, dass
dieses Bild in (0, ∞) liegt. Sei c > 0 das Minimum von Bild(S). dann gilt
Für v 0 ist w =
v
||v|| eukl
||w|| eukl = 1 ⇒ ||w|| ≥ c.
∈ S, also folgt
∣ v ∣∣∣ ∣∣∣
∣ ||v|| eukl
≥ c, oder
||v|| ≥ c ||v|| eukl
und die Behauptung ist bewiesen.
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2.6 Nichtstetige lineare Abbildungen
Nichtstetige lineare Abbildungen sind für diese Vorlesung nicht von Interesse. Der
Vollständigkeit halber wollen wir aber die Frage ihrer Existenz klären. Ja, es gibt sie,
und zwar viele davon. Um dies zu beweisen betrachtet man Hamel-Basen.
Definition 2.6.1 Eine Teilmenge B ⊂ V eines K-Vektorraums V heisst Hamel-Basis,
wenn jeder Vektor v ∈ V sich in eindeutiger weise als Linearkombination von
Vektoren aus B schreiben lässt.
Eine Teilmenge B ist also genau dann eine Hamel-Basis, wenn es zu jedem Vektor
v ∈ V eindeutig bestimmte Koeffizienten c b ∈ K für b ∈ B gibt, so dass fast alle c b gleich
Null sind und v = ∑ b∈B c b b gilt.
Definition 2.6.2 Eine Teilmenge L ⊂ V eines Vektorraums heisst linear unabhängig,
wenn für jede endliche Teilmenge E ⊂ L und jede Wahl von Koeffizienten λ v ∈ K,
v ∈ E gilt
∑
λ v v = 0 ⇒ λ v = 0 ∀ v∈E .
v∈E
Eine Teilmenge E ⊂ V heisst Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor von V sich als
Linearkombination von Elementen aus E schreiben lässt.