Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 131
gleichmässig gegen die entsprechende Ableitung ∂ α g konvergiert.
(b) Eine Abbildung ψ : C ∞ c (R n ) → X in einen metrischen Raum X ist genau dann stetig,
wenn für jede in C ∞ c (R n ) konvergente Folge Folge g j → g gilt
lim
j
ψ(g j ) = ψ(g).
Beweis: (a) Eine Teilmenge U von C ∞ c (R n ) ist genau dann offen, wenn für jedes N ∈ N
die Menge U ∩ C ∞ N (Rn ) in C ∞ N (Rn ) offen ist. Für eine stetige Funktion η : R n → (0, 1) sei
U η die Menge aller f ∈ C ∞ c (R n ) mit | f | < η. Dann ist U η eine offene Nullumgebung in
C ∞ c (R n ), siehe Beispiel 9.2.10. Sei g j → g in C ∞ c (R n ) konvergent. Ohne Einschränkung
kann g = 0 angenommen werden. Es ist zu zeigen, dass die Träger der g j beschränkt
sind. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann existiert zu jedem Kompaktum
K ⊂ R n ein j so dass supp(g j ) keine Teilmenge von K ist. Sukzessive basteln wir eine
Teilfolge g jk und eine Folge von Kompakta K k ⊂ K k+1 so dass supp(g jk ) ⊂ K k aber
supp(g jk+1 ) liegt nicht in K k . Es existiert daher eine stetige Funktion η > 0 so dass kein
|g j | überall < η ist. Also gilt g j U η für alle j, was der Tatsache g j → 0 widerspricht.
Damit folgt (a).
Nun zu (b). Da die Topologie von C ∞ c (R n ) eine Finaltopologie ist, ist ψ genau dann
stetig, wenn jede Einschränkung Ψ N = Ψ| C ∞
N (Rn ) stetig ist. Wir müssen also zeigen, dass
ψ N bereits stetig ist, wenn es folgenstetig ist, d.h., wenn es konvergente Folgen in
konvergente Folgen überführt. Dies ist eine Konsequenz aus der Tatsache, dass die
Topologie von C ∞ N (Rn ) durch abzählbar viele Halbnormen erzeugt wird. Für j ∈ N sei
U j = { f ∈ C ∞ N (Rn ) : σ 0 ( f ), . . . , σ n ( f ) < 1 j }.
Dann ist die Familie (U j ) eine offene Nullumgebungsbasis in C ∞ N (Rn ). Sei ψ N
folgenstetig und sei (g µ ) µ∈I ein Netz, das gegen ein g ∈ C ∞ N (Rn ) konvergiert. Für j ∈ N
existiert dann ein µ j ∈ I so dass
µ ≥ µ j ⇒ g µ ∈ g + U j .
Angenommen, das Netz ψ N (g µ ) konvergiert nicht gegen ψ(g). Dann gibt es ein ε > 0
und zu jedem j ∈ N ein β j ∈ I so dass β j ≥ µ j und d(ψ N (g βj ), ψ N (g)) > ε. Wegen β j ≥ µ j
ist g βj ∈ U j , das heisst die Folge (g βj ) j konvergiert gegen g und damit konvergiert
ψ N (g βj ) gegen ψ N (g), Widerspruch!
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