Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 41
3 Grundprinzipien der Funktionalanalysis
3.1 Fortsetzung von linearen Funktionalen
In diesem Abschnitt geht es um folgendes Prinzip: Ein stetiges lineares Funktional
kann von einem beliebigen Teilraum auf den ganzen Raum stetig und linear
fortgesetzt werden.
Satz 3.1.1 Ist V ein Banach-Raum und ist die Menge
¯B = ¯B 1 (0) = {v ∈ V : ||v|| ≤ 1}
kompakt, dann ist V endlich-dimensional.
Beweis: Sei (V, ||.||) ein normierter Raum. Für eine Teilmenge U ⊂ V und v ∈ V definiere
d(v, U) = inf ||v − u|| .
u∈U
Lemma 3.1.2 Ist U V ein abgeschlossener linearer Unterraum, dann existiert ein v ∈ V, so
dass ||v|| = 1 und d(v, U) ≥ 1 2 .
Beweis: Zu w ∈ V U wähle ein u 0 ∈ U, so dass ||w − u 0 || ≤ 2d(w, U). Setze v = w−u 0
||w−u 0 || .
Dann gilt ||v|| = 1 und
( ) ( )
w − u0
d(v, U) = d
||w − u 0 || , U w
= d
||w − u 0 || , U =
1
||w − u 0 || d(w, U) ≥ 1 2 .
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Zum Beweis des Satzes: Ist V unendlich-dimensional, so gibt es eine Folge von
Unterräumen V 1 ⊂ V 2 ⊂ . . . mit dim V n = n. Nach dem Lemma gibt es v n ∈ V n V n−1
mit v n ∈ ¯B und ||v n − u|| ≥ 1 2 für jedes u ∈ V n−1. Insbesondere folgt ||v n − v m || ≥ 1 2 falls
n m. Also enthält die Folge v n ∈ ¯B keine konvergente Teilfolge, also ist ¯B nicht
kompakt.
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