Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 114
Beispiele 9.2.10
• Sei V = C c (R) der Raum aller stetigen Abbildungen mit
kompaktem Träger. Für n ∈ N sei V n = C n (R) die Menge aller stetigen
Abbildungen mit Träger im Intervall [−n, n]. Es gilt dann V = ⋃ n V n . Auf V n
installieren wir die Norm ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ϕ
∣ ∣∣
∣ ∣∣n
= sup |t|≤n
|ϕ(t)|, damit ist V n ein Banach-Raum.
Dem Raum V geben wir die induktive Limestopologie, das heisst die
Finaltopologie der Inklusionen V n ↩→ V. Das bedeutet, dass eine Teilmenge
E ⊂ V genau dann offen ist, wenn für jedes n ∈ N die Menge E ∩ V n offen in V n
ist. Es ist leicht zu sehen, dass V damit ein topologischer Vektorraum ist.
Wir geben nun eine Nullumgebungsbasis aus konvexen ausgewogenen Mengen
an, so dass die zugehörigen Halbnormen die Topologie erzeugen. Sei
η : R → (0, 1) eine stetige Funktion. Sei U η = { f ∈ C c (R) : | f | < η}. Sei n ∈ N. Wir
zeigen, dass U η ∩ V n offen ist. Hierzu sei f ∈ U η ∩ V n . Da | f | < η und f stetig ist
mit kompaktem Träger, gibt es ein ε > 0 so dass | f | + ε < η, das heisst, dass eine
ε-Umgebung von f noch ganz in U η ∩ V n liegt, also ist U η ∩ V n offen. Damit ist die
Menge U η offen in V. Sie ist konvex und ausgewogen. Wir behaupten, dass die
Familie (U η ) η eine Nullumgebungsbasis ist. Sei hierzu W eine Nullumgebung.
Dann ist W ∩ V n offen in V n , enthält also eine ε n -Umgebung der Null für ein
ε n > 0. Wir können die Folge ε n als monoton fallend annehmen. Es gibt eine
stetige Funktion η mit 0 < η < ε n (x) falls n − 1 ≤ |x| ≤ n und also U η ⊂ W. Jedes
U η definiert eine Halbnorm und diese Halbnormen erzeugen die Topologie.
• Hier ein Beispiel für einen topologischen Vektorraum, der nicht lokalkonvex ist.
Sei 0 < p < 1 und sei I = [0, 1] das Einheitsintervall. Setze
∫
L p (I) = { f : I → C : messbar so dass ∆( f ) :=
modulo Nullfunktionen. Für a, b ≥ 0 gilt
X
| f (x)| p dx < ∞}
(a + b) p ≤ a p + b p ,
woraus sofort folgt
∆( f + g) ≤ ∆( f ) + ∆(g).
Hieraus folgt, dass L p (I) ein Vektorraum ist. Ferner ist
d( f, g) = ∆( f − g)
eine Metrik auf L p (I). Dieser metrische Raum ist vollständig, wie man mit