Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 126
Sei δ > 0. Da g gleichmässig stetig ist, gibt es eine Nullumgebung U ⊂ U 0 so dass für
y ∈ U die Supremumsnorm ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣Ly
g − g ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣G
kleiner als δ ist. Insbesondere hat man für
y ∈ U:
∣ ∣ ∣Ly g − g ∣ (∫
) 1
p
∣
∣∣p
= |g(x − y) − g(x)| p dx < δ vol(U 0 + K)
p 1 .
R n
Setzt man δ gleich ε/vol(U 0 + K) 1/p , so erhält man die Behauptung für g ∈ C c (R n ).
Für ein beliebiges g ∈ L p (R n ), wähle f ∈ C c (R n ) so dass ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f − g
∣ ∣∣
∣ ∣∣p
< ε/3. Wähle eine
Nullumgebung U mit ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f − Ly f ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣p
< ε/3 für jedes y ∈ U. Für y ∈ U hat man dann
∣ ∣ ∣ ∣g − Ly g ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣p
≤ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣g − f
∣ ∣∣
∣ ∣∣p
+ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f − Ly f ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣p
+ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣Ly
f − L y g ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣p
< ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε.
Hierbei wurde die Invarianz des Lebesgue-Maßes in der Gleichheit
∣ ∣ ∣Ly f − L y g ∣ ∣ ∣∣p
= ∣ ∣ ∣∣
∣ ∣∣ ∣∣p f − g benutzt.
□
Proposition 10.2.3 Sind f, g ∈ L 1 (R n ), so ist die Funktion φ : R n → L 1 (R n ); x ↦→ (L x f )g
Bochner-integrabel und es gilt ∫ R n φ = f ∗ g.
Beweis: Die Funktion ist stetig, also separabel und messbar und es gilt
∫
∣ ∣∣ ∣∣φ(x)
∣ ∣∣ ∣∣1
dx =
R n
∫R n ∫
R n | f (y − x)g(y)| dy dx ≤ ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f
∣ ∣∣
∣ ∣∣1
∣ ∣∣
∣ ∣∣g
∣ ∣∣
∣ ∣∣1
< ∞.
□
10.3 Cauchy-Integralformel
Als Anwendung des Bochner-Integrals beweisen wir die Cauchy-Integralformel für
Banach-Raum-wertige Funktionen. Sei D ⊂ C eine offene Teilmenge und sei f : D → V
eine holomorphe Funktion. Ferner sei γ : [0, 1] → D ein Weg, also eine stetige
Abbildung, die stückweise stetig differenzierbar ist. Das Wegintegral über γ ist dann
definiert als
∫
γ
f (z) dz def
=
∫
γ ′ (t) f (γ(t)) dt.
[0,1]
(Bochner-Integral)
Sei a ∈ D, und sei B = B r (a) eine Kreisscheibe, deren Abschluss in der Menge D
enthalten ist. Wir schreiben ∫ f (z) dz für das Integral über den positiv orientierten
∂B