Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 109
wir j 0 so wählen, dass B j ⊂ B fuer jedes j ≥ j 0 . Hieraus folgt x Bj ∈ B fuer alle j ≥ j 0 . Da
B abgeschlossen ist, liegt der Limes x von (x Bj ) ebenfalls in B.
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9.2 Definitionen
Definition 9.2.1 Ein topologischer Vektorraum ist ein komplexer Vektorraum V mit
einer Topologie so dass {0} eine abgeschlossene Menge ist und die Abbildungen
V × V → V C × V → V
(v, w) ↦→ v + w (λ, v) ↦→ λv
stetig sind.
Lemma 9.2.2 (a) Jeder topologische Vektorraum ist ein Hausdorff-Raum.
(b) Ist V ein komplexer Vektorraum, so dass Addition und Skalarmultiplikation stetig sind,
Sei dann N = {0} der Abschluss der Null. Dann ist N ein Untervektorraum und V/N ist
ein topologischer Vektorraum. Jede stetige Abbildung f : V → X in einen
Hausdorff-Raum faktorisiert über V/N.
Beweis: (a) Sei V ein topologischer Vektorraum und seien x, y ∈ V mit x y. Dann ist
U = V {x − y} eine offene Umgebung der Null. Wegen der Stetigkeit der Addition
gibt es eine Nullumgebungen W 1 , W 2 mit W 1 + W 2 ⊂ U. Setze W 3 = W 1 ∩ W 2 und
W = W 3 ∩ (−W 3 ), dann ist W eine Nullumgebung mit W = −W und W + W ⊂ U.
Folglich sind x + W und y + W offene Umgebungen von x und y. Wir behaupten, dass
sie disjunkt sind. Angenommen, es gibt w, w ′ ∈ W mit x + w = y + w ′ , dann folgt
x − y = w ′ − w ∈ W + W ⊂ U = V {x − y}, ein Widerspruch!
(b) Seien n 1 , n 2 ∈ N. Dann konvergiert die konstante Folge x j = 0 gegen n 1 und gegen
n 2 . Da die Addition stetig ist, konvergiert die konstante Folge x j + x + j = x j = 0 gegen
n 1 + n 2 , also ist n 1 + n 2 ∈ N. Analog sieht man die Abgeschlossenheit unter Skalarer
Multiplikation. Damit ist N ein Untervektorraum. Sei nun f : V → X stetig, wobei X
ein Hausdorff-Raum ist. Sei x ∈ V und n ∈ N. Wir wollen zeigen, dass f (x) = f (x + n)
ist. Dies folgt aber aus der Stetigkeit, da die konstante Folge x j = x gegen x und gegen
x + n konvergiert, in dem Hausdorff-Raum X eine Folge aber nur einen Limes haben
kann.
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