Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 129
11 Distributionen
11.1 Definition der Distributionen
Sei C ∞ (R n ) der Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf R n . Ist
α ∈ N n ein Multi-Index, so schreiben wir
0
∂ α f (x) = ∂α 1
∂x α 1
1
· · ·
∂ α n
∂x α f (x),
n
n
sowie
x α = x α 1
1 · · · xα n
n .
Weiter schreiben wir |x| für die euklidische Norm, also
Für x, y ∈ R n schreiben wir ferner
|x| =
√
x 2 1 + · · · + x2 n.
x · y = x 1 y 1 + · · · + x n y n .
Wir versehen C ∞ (R n ) mit der Topologie erzeugt durch die Halbnormen
σ K,α ( f ) = sup |∂ α f (x)|,
x∈K
wobei K ⊂ R kompakt ist und α ∈ N n 0 . damit ist C∞ (R n ) ein topologischer Vektorraum.
Sei C ∞ c (R n ) der Unterraum aller Funktion mit kompakten Trägern. Es ist nicht a priori
klar, dass dies nicht der Nullraum ist. Wir betrachten zunächst den Fall n = 1,
konstruieren also Funktionen in C ∞ c (R n ). Sei
Diese Funktion liegt in der Tat in C ∞ c (R n ).
⎧
0, x ≤ 0,
⎪⎨
f (x) = e − x 1 e
− 1−x 1
, 0 < x < 1,
⎪⎩ 0, x ≥ 1.
Da wir nun eine nichtverschwindende Funktion f in C ∞ c (R n ) haben, können wir nun
Linearkombinationen von Funktionen der Form h(x) f (ax + b), a 0, h ∈ C ∞ (R),