Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 83
Für v ∈ H definieren wir U(|T|v) = Tv, dann ist U eine wohldefinierte Isometrie von
Bild(|T|) nach Bild(T), die auf den Abschluss ausdehnt und die Behauptung erfüllt.
Ferner ist U surjektiv, da es nach Definition schon surjektiv von Bild(|T|) → Bild(T) ist
und da es eine Isometrie ist, ist das Bild U(Bild(|T|)) ⊂ Bild(T) vollständig und enthält
Bild(T), also ist U surjektiv.
Für die Eindeutigkeit sei T = U|T| = U ′ P. Erweitere U zu einem beschränkten
Operator auf H durch U ≡ 0 auf Bild(|T|) ⊥ mach dasselbe für U ′ . Dann ist U ∗ U die
Orthogonalprojektion auf Bild(|T|) und (U ′ ) ∗ U ′ ist die Orthogonalprojektion auf
Bild(P), so dass (U ′ ) ∗ U ′ P = P. Es gilt
|T| = √ T ∗ T = √ (U ′ P) ∗ U ′ P = √ P ∗ (U ′ ) ∗ U ′ P = √ P ∗ P = √ P 2 = P.
Hieraus folgt auch U = U ′ .
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Beispiel 6.3.2 Sei H = L 2 ([0, 1]) und f : [0, 1] → C × eine stetige Funktion. Betrachte
den Operator T f : H → H gegeben durch
T f ϕ(x) = f (x)ϕ(x).
Wir schreiben die Funktion f als f = u| f |, wobei u : [0, 1] → T stetig ist, genauer ist
u(x) = f (x)/| f (x)|. Es gilt dann T f = T | f | T u und dies ist genau die Polarzerlegung.