Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 135
Surjektivität: Sei T eine Distribution mit kompaktem Träger. Sei χ ∈ C ∞ c (R n ) so dass
χ ≡ 1 in einer Umgebung von supp T. Für f ∈ C ∞ (R n ) definieren wir ˜T( f ) = T(χ f ).
Dann gilt
(i) ˜T( f ) = T( f ) falls f kompakten Träger hat,
(ii) ˜T liegt in C ∞ (R n ) ′ und hängt nicht von der Wahl von χ ab.
Zum Beweis habe die Funktion f kompakten Träger, dann gilt
˜T( f ) − T( f ) = T((χ − 1) f ) = 0,
da (χ − 1) f Träger ausserhalb von supp T hat. Für die zweite Aussage sei χ ′ eine
weitere Wahl, dann ist
T(χ f ) − T(χ ′ f ) = T((χ − χ ′ ) f ) = 0,
da (χ − χ ′ ) Träger ausserhalb von supp T hat. Die Stetigkeit von ˜T ist klar, denn
konvergiert eine Folge f j in C ∞ (R) gegen f ∈ C ∞ (R), dann konvergiert χ f j in C ∞ c (R n )
gegen χ f .
□
Definition 11.2.3 Für N ∈ N und φ ∈ C ∞ c (R n ) sei
∣ ∣ ∣ ∣φ
∣ ∣∣
∣ ∣∣N
= sup { |∂ α φ(x)| : |α| ≤ N, x ∈ R n} .
Satz 11.2.4 Für eine lineare Abbildung T : C ∞ c (R n ) → C sind äquivalent:
(a) Sei T eine Distribution.
(b) Zu jedem Kompaktum K ⊂ R n gibt es ein N ∈ N und eine Konstante C > 0 so dass
für jedes φ ∈ C ∞ c (R n ) mit Träger in K gilt
|T(φ)| ≤ C ∣ ∣ ∣∣φ
∣ ∣∣ ∣∣N
.
Beweis: Für ein Kompaktum K ⊂ R n sei C ∞ K
die Menge aller glatten Funktionen auf Rn
mit Träger in K. Ein lineares T ist genau dann eine Distribution, wenn für jedes K die