Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 74
Beweis: (a) Da ||T|| = 1, folgt |λ| ≤ 1. Gilt |λ| < 1, so ist ||λT ∗ || < 1 und also ist
T − λ = T(1 − λT ∗ )
invertierbar, was bedeutet λ σ(T).
(b) Sei S selbstadjungiert und sei λ = σ + it. Setze S λ = S − λ. Dann folgt
||S λ v|| 2 = ||Sv − σv − itv|| 2
= 〈Sv − σv − itv, Sv − σv − itv〉
= 〈Sv − σv, Sv − σv〉 + i 〈Sv − σv, tv〉 − i 〈tv, Sv − tv〉 + 〈tv, tv〉
}{{}
= ||Sv − σv|| 2 + t 2 ||v|| 2 .
Damit ist ||S λ v|| ≥ |t| ||v||. Ist t 0, so ist S λ invertierbar nach Satz 5.4.3 (c), also λ σ(S).
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Definition 6.1.13 Ein selbstadjungierter Operator T ∈ B(H) heisst positiver Operator,
falls
〈Tv, v〉 ≥ 0 ∀v ∈ H.
Proposition 6.1.14 Ist T ein positiver Operator, dann liegt das Spektrum σ(T) im Intervall
[0, ∞).
Wir werden später sehen, dass auch die Umkehrung richtig ist, d.h.: ist das Spektrum
eines selbstadjungierten Operators T in [0, ∞), dann ist T positiv.
Beweis: Wir können annehmen, dass ‖T‖ = 1. Dann σ(T) ⊆ [−1, 1] da T
=0
selbstadjungiert ist. Wir zeigen dass T µ
Nach Annahme haben wir
def
=
T + µ1 invertierbar ist für jedes µ > 0.
‖T µ v‖‖v‖ ≥ 〈 T µ v, v 〉 = 〈Tv, v〉 + µ 〈v, v〉 ≥ µ‖v‖ 2 ,
also ‖T µ v‖ ≥ µ‖v‖ für jedes v ∈ H. Daher ist T µ invertierbar nach Satz 5.4.3.
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Definition 6.1.15 Sind A, B ⊂ C nicht-leere, kompakte Teilmengen, so definieren wir
d(A, ˜ B) = sup inf |a − b|
a∈A b∈B