Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 138
Proposition 11.4.2 Die Menge der Testfunktionen C ∞ c (R n ) ist dicht in S. Also ist die
Restriktionsabbildung
S ′ → C ∞ c (R n ) ′ ,
T ↦→ T| C ∞ c (R n ),
injektiv. Wir können also den Raum der temperierten Distributionen als einen Teilraum des
Raums der Distributionen auffassen. Die Inklusionskette C ∞ c (R n ) ⊂ S ⊂ C ∞ (R n ) dualisiert
sich damit zu
C ∞ (R n ) ′ ⊂ S ′ ⊂ C ∞ c (R n ) ′ .
Beweis: Sei η : R n → [0, 1] eine glatte Funktion mit η(x) = 1 für x ≤ 0 und η(x) = 0 für
x ≥ 1. Für j ∈ N setze
χ j (x)
def
=
η(|x| − j).
Die Funktion χ j ist glatt, hat kompakten Träger und es gilt χ j (x) = 1 für |x| ≤ j. Setze
f j (x) = χ j (x) f (x). Dann liegt f j in C ∞ c (R n ) und die Folge f j konvergiert in S gegen f , wie
man leicht sieht. Also T( f ) = lim j T( f j ) = 0.
Eine lokal integrierbare Funktion φ. Dann ist unter gewissen Bedingungen die
Distribution I φ temperiert.
Lemma 11.4.3 Sei φ eine lokal integrierbare Funktion auf R und nimm an, dass ein k ∈ N
existiert mit
∫
1
|φ(x)| dx < ∞.
R 1 + x n 2k
Dann konvergiert das Integral I φ ( f ) = ∫ R n φ(x) f (x) dx für jedes f ∈ S und definiert eine
temperierte Distribution f ↦→ I φ ( f ).
Beweis: Die Konvergenz ist klar, so dass I φ eine lineare Abbildung S → C definiert.
Wir müssen zeigen, dass diese stetig ist. Sei k wie im Lemma und sei
C = ∫ 1
|φ(x)| dx. Wir können C > 0 annehmen. Die Folge ( f
R n 1+x 2k j ) konvergiere gegen f
in S. Sei ε > 0. Dann existiert ein j 0 so dass für j ≥ j 0 gilt sup x∈R
| f j (x) − f (x)| <
Für j ≥ j 0 folgt
ε
. C(1+x 2k )
∫
|I φ ( f j ) − I φ ( f )| ≤ |φ(x)| | f j (x) − f (x)| dx
R n
< ε ∫
|φ(x)|
dx = ε. □
C 1 + x2k R n
□