Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 120
dann integrabel, wenn es zu jeder stetige Halbnorm p eine einfache Funktion s p gibt, so dass
∫
X
p( f − s p ) dµ < 1.
Beweis: Gibt es ein approximierendes Netz, so ist die Bedingung aus dem Lemma
offensichtlich. Sei nun umgekehrt die Bedingung erfüllt. Auf der menge aller stetigen
Halbnormen gibt es eine natürliche partielle Ordnung Es ist p ≤ q äquivalent zu
U p ⊃ U q . Da jede Nullumgebung eine konvexe ausgeglichene Umgebung enthält, ist
die Menge aller stetigen Halbnormen gerichtet. Die einfachen Funktionen (s p ) p bilden
also ein Netz und dieses Netz approximiert f . Dies folgt aus der Tatsache, dass für
jede stetige Halbnorm p und jedes ε > 0 die Funktion 1 p wieder eine stetige Halbnorm
ε
ist und es gilt
∫
X
p( f − s 1
ε p ) dµ < ε. □
Satz 10.1.2 (a) Ist f integrabel und ist (s n ) ein approximierendes Netz, dann konvergiert
das Netz von Vektoren ∫ X s n dµ in V. Der Grenzwert dieses Netzes hängt nicht von
der Wahl des approximierenden Netzes ab. Wir definieren das Integral von f als
diesen Grenzwert:
∫
X
f dµ def
= lim n
∫
X
s n dµ.
(b) Für jede integrable Funktion f und jede stetige Halbnorm p gilt
p
(∫
X
) ∫
f dµ ≤
X
p( f ) dµ < ∞.
(c) Sei f integrabel. Für jeden stetigen linearen Operator T : V → W in einen
lokalkonvexen Raum W gilt
T
(∫
X
) ∫
f dµ =
X
T( f ) dµ.
(d) Im Falle V = C stimmt das so definierte Bochner-Integral mit dem üblichen Integral
überein.