Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 104
es das Spektralmaß zu T ist, indem wir für ϕ, ψ ∈ H und f ∈ C(σ(T)) = C([0, 1])
rechnen:
〈(∫
) 〉 ∫
f (t) dµ(t) ϕ, ψ = f (t)dµ ϕ,ψ .
[0,1]
[0,1]
Sind ϕ = 1 A und ψ = 1 B für messbare Teilmengen A, B ⊂ [0, 1], dann gilt
µ ϕ,ψ (S) = 〈 µ(S)ϕ, ψ 〉 = 〈1 S 1 A , 1 B 〉 = λ(A ∩ B ∩ S),
wobei λ das Lebesgue-Maß auf [0, 1] ist. Daher ist in diesem Fall
〈(∫
[0,1]
) 〉 ∫
f (t) dµ(t) ϕ, ψ =
A∩B
f (t) dλ(t).
Andererseits ist f (T)ϕ(x) = f (x)ϕ(x) und daher
∫
〈 〉 f (T)ϕ, ψ = f (x) dλ(x).
Da die Funktionen der Form 1 A in L 2 ([0, 1]) einen dichten Teilraum erzeugen, folgt die
Gleichheit
〈(∫
) 〉
f (t) dµ(t) ϕ, ψ = 〈 f (T)ϕ, ψ 〉
[0,1]
allgemein.
□
A∩B