Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 65
Zerlege ein gegebenes v ∈ H entsprechend v = v 1 + v 3 + v 2 . Dann ist
P 1 P 2 (v) = P 1 (v 1 + v 3 ) = v 1 = P 1 (v) = P 2 P 1 (v).
(b)→(c): Es ist (P 2 − P 1 ) 2 = P 2 + 2 P2 − P 1 1P 2 − P 2 P 1 = P 2 + P 1 − P 1 − P − 1 = P 2 − P 1 .
(c)→(a): Sei v ∈ E 1 . Dann ist
P 2 (v) − v = (P 2 − P 1 )(v) = (P 2 − P 1 ) 2 (v) = P 2 (v) + v − P 2 (v) − P 1 P 2 (v) = v − P 1 P 2 (v),
also (1 + P 1 )P 2 (v) = 2v. Wenden wir hierauf P 1 an, erhalten wir P 1 P 2 (v) = v, woraus
nach Lemma 5.3.3 folgt P 2 (v) = v.
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Satz 5.3.6 Sein P i , V i wie im letzten Satz. Dann sind äquivalent:
(a) P 1 P 2 ist Projektion,
(b) P 1 P 2 = P 2 P 1 ,
(c) Es gibt paarweise senkrechte Unterräume W 1 , W 2 , V mit
V 1 = V ⊥ W 1 , V 2 = V ⊥ W 2 .
In diesem Fall ist P 1 P 2 eine Orthogonalprojektion mit Bild V.
Beweis: Übungsaufgabe.
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5.4 Normale Operatoren
Definition 5.4.1 Ein Operator T ∈ B(H) heisst normal, falls TT ∗ = T ∗ T.
Beispiele 5.4.2
• Jeder selbstadjungierte Operator ist normal.
• Eine Matrix A ∈ M n (C) ist genau dann normal, wenn es ein k ∈ U(n) und eine
Diagonalmatrix D gibt, so dass A = kDk −1 gilt.