Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 11
C, also gibt es y 1 , . . . , y l ∈ C mit C ⊆ ⋃ l
j=1 V yj . Dann ist U = ⋂ l
j=1 U yj eine offene
Umgebung von x mit U ∩ C = ∅.
Die Aussage (c) wurde in Analysis 2 für metrische Räume bewiesen. Derselbe Beweis
geht allerdings für beliebige topologische Räume durch.
Ein topologischer Raum X heisst lokalkompakt, falls jeder Punkt x ∈ X eine
kompakte Umgebung besitzt.
□
Beispiele 1.5.4
• Die Menge R n ist lokalkompakt, da jeder Punkt x eine kompakte
Umgebung, etwa [x 1 − 1, x 1 + 1] × · · · × [x n − 1, x n + 1] besitzt.
• Sei K ⊂ R n kompakt. Der Raum C(K) aller stetigen Funktionen von K nach R mit
der Supremumsnorm ist nur dann lokalkompakt, wenn K endlich ist.
Beweis: Ist K endlich, so ist C(K) R n , also lokalkompakt. Ist K nicht endlich, so
sei (k j ) j∈N eine Folge in K mit k j k i für i j. Jedes k j hat dann einen positiven
Abstand zu {k 1 , . . . , k j−1 }, also existiert ein f j ∈ C(K) mit f (k 1 ) = · · · = f (k j−1 ) = 0
und f (k j ) = 1. Für i j gilt dann
∣ ∣ ∣ ∣ fi − f j
∣ ∣∣
∣ ∣∣K
≥ 1,
also hat die Folge ( f j ) j keine konvergente Teilfolge, damit ist C c (K) nach dem
Satz von Bolzano-Weierstrass nicht kompakt.
□
1.6 Das Zornsche Lemma
Sei (S, ≤) eine partiell geordnete Menge. Eine Teilmenge L ⊂ S, in der alle Elemente
vergleichbar sind, für die also gilt:
x, y ∈ L ⇒ x ≤ y oder y ≤ x,
heisst linear geordnet. Sei L ⊂ S eine linear geordnete Teilmenge. Ein Element z ∈ S
heisst obere Schranke zu L, wenn gilt
x ∈ L ⇒ x ≤ z.
Wir schreiben in diesem Fall auch L ≤ z.