Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 115
demselben Beweis wie für p ≥ 1 zeigt. Wir zeigen, dass es sich um einen
topologischen Vektorraum handelt. Dazu seien f j → f und g j → g konvergente
Folgen. Es gilt
d( f j + g j , f + g) = ∆( f j + g j − f − g)
≤ ∆( f j − f ) + ∆(g j − g)
= d( f j , f ) + d(g j , g) → 0,
also ist die Addition stetig. Für die Skalarmultiplikation sei λ j → λ in C konvergent,
so folgt
d(λ j f j , λ f ) = ∆(λ j f j − λ f )
≤ ∆(λ j f j − λ j f ) + ∆(λ j f − λ f )
= |λ j | p d( f j , f ) + |λ| p d( f j , f ) → 0.
Wir zeigen, dass dieser topologische Vektorraum keine offenen konvexen Mengen enthält
ausser der leeren Menge und dem ganzen Raum.
Sei hierzu V ∅ offen und konvex in L p (I). Wir können 0 ∈ V annehmen. Dann gibt es
ein r > 0 so dass der offene Ball B r (0) um Null vom Radius r ganz in V liegt. Sei f ∈ L p .
Da p < 1, gibt es ein n ∈ N so dass n p−1 ∆( f ) < r. Man kann das Intervall I mit
Trennungspunkten 0 = x 0 < x 1 < · · · < x n = 1 so unterteilen, dass
∫ xj
x j−1
| f (x)| p dx = n −1 ∆( f ).
Sei g j (x) = n f (x) falls x j−1 < x ≤ x j und g j (x) = 0 sonst. Dann ist g j ∈ V, denn
∆(g j ) = n p−1 ∆( f ) < r.
Da nun V konvex ist und da
f = 1 n (g 1 + · · · + g n ),
folgt f ∈ V, also ist V = L p .
Folgerung: L p (I) ′ = 0, denn sei α : L p (I) → C eine stetige lineare Abbildung, Dann ist
α −1 (B ε ) offen, nichtleer und konvex in L p , also gleich L p . Da dies für jedes ε > 0 gilt, ist
α(L p ) = 0.