Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 80
Beweis: Jedes Polynom p liefert eine stetige Abbildung σ(T) → C. Wir erhalten also
einen Algebrenhomomorphismus ψ : C[X] → C(σ(T)). Andererseits haben wir einen
Algebrenhomomorphismus P : C[X] → B(H) gegeben durch P( f (X)) = f (T). Wir
wollen den gepunkteten Homomorphismus konstruieren:
C[X]
ψ
C(σ(T))
P
∃!
B(H)
1. Schritt: Das Bild von ψ ist dicht in C(σ(T)).
Dies folgt aus dem Satz von Stone-Weierstraß.
2. Schritt: Für jedes f ∈ C[X] gilt ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ψ( f )
∣ ∣∣
∣ ∣∣ =
∣ ∣∣
∣ ∣∣P( f )
∣ ∣∣
∣ ∣∣.
Es ist
∣ ∣ ∣
∣ψ(
∣∣ ∣∣ f ) = sup | f (x)|
x∈σ(T)
= sup |z| = sup |z|
z∈ f (σ(T)) z∈σ( f (T))
= r( f (T)) = ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ f (T)
∣ ∣∣
∣ ∣∣ =
∣ ∣∣
∣ ∣∣P( f )
∣ ∣∣
∣ ∣∣ .
3. Schritt: Finale.
Aus dem 2.Schritt folgt, dass der Kern J von ψ gleich dem Kern von P ist, das Bild
Bild(ψ) ist also isomorph C[X]/J und dies ist isomorph zum Bild Bild(P). Ferner ist die
Abbildung
Bild(ψ) → Bild(P) → B(H)
isometrisch, setzt also zu genau einer isometrischen Abbildung φ : C(σ(T)) → B(H)
fort. Auf der dichten Unteralgebra Bild(ψ) ist ψ ein Algebrenhomomorphismus, also
ist φ insgesamt ein Algebrenhomomorphismus. Die Eindeutigkeit ist klar wegen der
Dichtheit der Polynome.
Die Eigenschaften φ( f ∗ ) = φ( f ) ∗ und σ( f (T)) = f (σ(T)) sind klar, wenn f ein Polynom
ist. Die erste folgt sofort allgemein und die zweite wie folgt:
Sei f j eine Folge von Polynomen die in C(σ(T)) gegen f konvergiert. Es gilt
f j (σ(T)) = σ( f j (T)) nach Lemma 6.2.4. Die Folge f j (σ(T)) konvergiert nach Lemma
6.1.18 in der Hausdorff-Metrik gegen f (σ(T)). Die Folge σ( f j (T)) konvergiert nach Satz
6.1.19 in der Hausdorff-Metrik gegen σ( f (T)), so dass insgesamt die Gleichheit folgt. □