Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 121
Beweis: Es reicht zu zeigen, dass für jedes approximierende Netz (s n ) n∈N das Netz
∫
X s n dµ konvergiert, denn ist (t m ) m∈M ein weiteres approximierendes Netz, dann ist
auch jedes Netz der Form (r n,m ) N×M mit r n,m ∈ {s n , t m } ein approximierendes Netz,
wobei wir auf N × N die Produktordnung installieren.
Da dann stets ∫ X r n,m dµ konvergiert, sind die Grenzwerte von ∫ X s n dµ und ∫ X t n dµ
gleich.
Um die Konvergenz zu zeigen, reicht es, zu zeigen, dass ∫ X s n dµ ein Cauchy-Netz ist.
Für m, n ∈ N und eine stetige Halbnorm p beachte
p
(∫
X
∫
s m dµ −
X
s n dµ
)
(∫ ) ∫
= p s m − s n dµ ≤ p (s m − s n ) dµ
X
X
∫
∫
≤ p(s m − f ) dµ + p( f − s n ) dµ,
X
wobei die rechte Seite gegen Null geht für m, n → ∞. Daher ist ∫ X s n dµ tatsächlich ein
Cauchy-Netz. Hieraus folgt (a).
Für (b) betrachte die Ungleichung ∣ ∣ ∣ p( f ) − p(sn ) ∣ ∣ ∣ ≤ p( f − sn ), welche impliziert, dass die
C-wertige Funktion p( f ) integrabel ist und dass das Netz p(s n ) gegen p( f ) in L 1 (X)
konvergiert. Es folgt
p
(∫
X
f dµ
)
= lim
n
p
(∫
X
s n dµ
)
≤ lim
n
∫
X
X
∫
p(s n ) dµ =
Schließlich zu Teil (c). Die Stetigkeit und Linearität von T impliziert
T
(∫
X
f dµ
)
= lim
n
∫
X
T(s n ) dµ.
X
p( f ) dµ.
Wir wollen zeigen, dass T( f ) integrierbar ist und dass die rechte Seite gleich ∫ T( f ) dµ
X
ist. Da T stetig ist, gibt es zu jeder stetigen Halbnorm q auf W eine stetige Halbnorm p
auf V so dass q(T(v)) ≤ p(v) für alle v ∈ V gilt. Wir können daher abschätzen:
∫
X
q(T( f ) − T(s n )) dµ =
∫
X
q(T( f − s n )) dµ ≤
∫
X
p( f − s n ) dµ.
Da die rechte Seite gegen Null geht, folgt die Behauptung. Teil (d) ist klar, da eine
approximierende Folge in der L 1 -Topologie gegen f konvergiert und das Integral ein
stetiges lineares Funktional auf L 1 ist.
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