Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 105
9 Topologische Vektorräume
9.1 Netze
Sei I eine Menge. Eine partielle Ordnung auf I ist eine Relation ≤, die
• reflexiv ist: x ≤ x,
• anti-symmetrisch ist: x ≤ y und y ≤ x ⇒ x = y,
• transitiv ist: x ≤ y and y ≤ z ⇒ x ≤ z.
Beispiele 9.1.1 • Die natürliche Ordnung ≤ auf R.
• Sei X eine Menge. Auf der Menge P(X) aller Teilmengen von X gibt es eine
natürliche Ordnung durch Inklusion, also fuer A, B ⊂ X,
A ≤ B ⇔ A ⊂ B.
Eine partiell geordnete Menge (I, ≤) heisst gerichtet, falls je zwei Elemente eine obere
Schranke haben, falls also gilt
x, y ∈ I ⇒ ∃ z∈I : x ≤ z, y ≤ z.
Ist I gerichtet, so hat jede endliche Teilmenge eine obere Schranke.
Definition 9.1.2 Ein Netz in einem topologischen Raum X ist eine Abbildung
α : I → X,
wobei I eine gerichtete Menge ist. Man schreibt die Bilder als α i , i ∈ I, anstelle von α(i).
Beispiel 9.1.3 Jede Folge ist ein Netz.
Wir sagen, ein Netz α konvergiert gegen einen Punkt x ∈ X, falls es zu jeder
Umgebung U von x einen Index i 0 ∈ I gibt so dass
i ≥ i 0 ⇒ α i ∈ U.