Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 136
Abbildung
C ∞ K ↩→ C∞ c (R n )
T
−→ C
stetig ist. Die Topologie auf C ∞ K wird aber gerade von der Halbnormen ||.|| N erzeugt. □
Falls es ein N gibt, dass die obige Abschätzung (mit verschiedenen C) für alle K
erfüllt, so sagen wir, T hat endliche Ordnung. Das kleinste solche N heißt Ordnung
der Distribution T. Andernfalls hat T unendliche Ordnung.
Beachte, dass jede Distribution mit kompaktem Träger endliche Ordnung hat.
11.3 Die Ableitung einer Distribution
Sei φ eine glatte Funktion auf R n und sei α ∈ N n ein Multi-Index. Durch partielle
0
Integration sieht man, dass für g ∈ C ∞ c (R n ) gilt
∫
I ∂ α φ(g) = ∂
∫R α φ(x)g(x) dx = (−1) |α| φ(x)∂ α g(x) dx = (−1) |α| I φ (∂ α g),
n R n
wobei
|α| = α 1 + · · · + α n .
Dies motiviert die definition der Ableitung einer Distribution wie folgt. Sei T eine
Distribution und α ∈ N n 0 . Wir definieren die Ableitung ∂α T ∈ C ∞ c (R n ) ′ durch
∂ α T(g)
def
= (−1)|α| T(∂ α g).
Beispiele 11.3.1 • Ist die Funktion φ glatt, so gilt ∂ α I φ = I ∂ α φ.
• Sei n = 1 und φ die Indikatorfunktion des Intervalls [0, 1]. Für g ∈ C ∞ c (R) folgt
∫ 1
I ′ φ (g) = −T φ(g ′ ) = − g ′ (x) dx = g(0) − g(1),
0
wir können also schreiben I ′ (x) = δ(x) − δ(x − 1).
φ