Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 79
Sei C[X] die Algebra der Polynome. Für T ∈ B(H) betrachte den
Algebrenhomomorphismus P : C[X] → B(H) gegeben durch
P( f (X)) = f (T).
Lemma 6.2.4 (Spektraler Abbildungssatz für Polynome) Sei T ein stetiger normaler
Operator auf einem Hilbert-Raum H. Für ein Polynom f ∈ C[X] ist f (T) ein stetiger
Operator mit
σ( f (T)) = f (σ(T)),
wobei f (σ(T)) = { f (λ) : λ ∈ σ(T)}.
Beweis: Sei der Grad von f grösser Null. Wir schreiben
f (X) − λ = a(X − λ 1 ) · · · (X − λ n ).
Dann ist
f (T) − λ = a(T − λ 1 ) · · · (T − λ n ).
”⊂” Sei λ ∈ σ( f (T)). Dann ist f (T) − λ nicht invertierbar und daher muss ein λ i im
Spektrum von T liegen. Es ist dann λ = f (λ i ) ∈ f (σ(T)).
”⊃“ Sei λ ∈ f (σ(T)), also λ = f (µ) mit µ ∈ σ(T). Dann ist µ = λ i für ein i. Daher ist
f (T) − λ nicht invertierbar, also λ ∈ σ( f (T)).
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Satz 6.2.5 (Stetiger Funktionalkalkül) Sei T ein selbstadjungierter Operator auf dem
Hilbert-Raum H. Es gibt genau einen isometrischen Algebrenhomomorphismus
φ : C(σ(T)) → B(H) mit φ(Id) = T. Hierbei bezeichnet Id die Abbildung σ(T) → C
gegeben durch z ↦→ z. Dieser Homomorphismus hat die zusätzliche Eigenschaft
φ( f ∗ ) = φ( f ) ∗ ,
wobei wir für f ∈ C(σ(T)) definieren: f ∗ (t) = f (t). Wir schreiben φ( f ) suggestiv als f (T).
Es gilt
σ( f (T)) = f (σ(T)).
Insbesondere ist f (T) selbstadjungiert, falls f reellwertig ist.