Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 117
Satz 9.2.12 (Hahn-Banach für lokalkonvexe Räume) Sei V ein lokalkonvexer
topologischer Vektorraum und U ⊂ V ein Teilraum. Dann besitzt jedes stetige lineare
Funktional α : U → K eine stetige lineare Fortsetzung nach V.
Beweis: Sei die Topologie von V erzeugt von der Familie (p i ) i∈I von Halbnormen.
Nach Proposition 9.2.11 gilt
|α(u)| ≤ C
n∑
p iν (u)
für alle v ∈ U. Für v ∈ V setze p(v) = C ∑ n
ν=1 p iν (v). Ist K = R, so folgt, dass α eine
Fortsetzung ˜α nach V hat mit | ˜α(v)| ≤ p(v) für alle v ∈ V, so dass ˜α in der Tat stetig ist.
Der Fall K = C wird nun auf der reellen Fall zurückgeführt wie beim Beweis von Satz
3.1.3: Das R-lineare Funktional Re(α) besitzt eine R-lineare Fortsetzung ˜α R nach V mit
| ˜α R (v)| ≤ p(v). Sei ˜α das komplex-lineare Funktional mit Re( ˜α) = ˜α R . Ist v ∈ V, so
existiert ein θ ∈ R, so dass e iθ ˜α(v) = ˜α(e iθ v) ∈ R gilt. Es folgt
ν=1
| ˜α(v)| = |e iθ ˜α(v)| = | ˜α R (e iθ v)| ≤ p(e iθ v) = p(v). □
9.3 Vollständigkeit
Definition 9.3.1 Ein Netz (v i ) i∈I in einem topologischen Vektorraum V heisst
Cauchy-Netz, falls es zu jeder Nullumgebung U ⊂ V einen Index i 0 ∈ I gibt so dass
i, j ≥ i 0 ⇒ v i − v j ∈ U.
Definition 9.3.2 Ein topologischer Vektorraum V heisst vollständig, falls jedes
Cauchy-Netz konvergiert.
Beispiel 9.3.3 Der Raum S der Schwartz-Funktionen auf R ist vollständig.
Beweis: Sei ( f i ) i∈I ein Cauchy-Netz. Insbesondere ist ( f i ) ein Cauchy-Netz in der Norm
∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∣R f = sup | f (x)|.
x∈R
Da der Raum der beschränkten stetigen Funktionen vollständig ist, konvergiert das
Netz gleichmässig gegen eine stetige Funktion f . Da für jedes k die Ableitungen f (k)
i