Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 66
Satz 5.4.3 Ein Operator T ∈ B(H) ist genau dann normal, wenn
||Tv|| = ||T ∗ v||
für jedes v ∈ H gilt. Für einen normalen Operator T gilt
(a) Ker(T) = Ker(T ∗ ),
(b) Bild(T) ist genau dann dicht in H, wenn T injektiv ist,
(c) T ist genau dann invertierbar, wenn es ein δ > 0 gibt so dass ||Tv|| ≥ δ ||v|| für jedes
v ∈ H,
(d) gilt Tv = λv für ein v ∈ H und λ ∈ C, dann folgt T ∗ v = λv,
(e) sind λ und µ verschiedene Eigenwerte von T, dann stehen die zugehörigen
Eigenräume senkrecht aufeinander.
Beweis: Ist T normal, so gilt
||Tv|| 2 = 〈Tv, Tv〉 = 〈v, T ∗ Tv〉 = 〈v, TT ∗ v〉 = 〈T ∗ v, T ∗ v〉 = ||T ∗ v|| 2 .
Ist umgekehrt ||Tv|| = ||T ∗ v||, so folgt aus der Polarisierungsidentität, dass für alle
v, w ∈ H die Gleichung 〈Tv, Tw〉 = 〈T ∗ v, T ∗ w〉 gilt. Also folgt
〈T ∗ Tv, w〉 = 〈Tv, Tw〉 = 〈T ∗ v, T ∗ w〉 = 〈TT ∗ v, w〉 ,
so dass T ∗ T = TT ∗ folgt.
(a) Sei v ∈ Ker(T), so folgt 0 = ||Tv|| = ||T ∗ v||, also v ∈ Ker(T ∗ ). Die Rückrichtung folgt
aus Symmetrie.
(b) Sei das Bild dicht, so ist wegen 〈Tv, w〉 = 〈v, T ∗ w〉 der Operator T ∗ injektiv. Wegen
||Tv|| = ||T ∗ v|| ist dann T injektiv. Sei umgekehrt T (und also T ∗ ) injektiv und sei
u ∈ Bild(T) ⊥ . Für jedes w ∈ H folgt 0 = 〈u, Tw〉 = 〈T ∗ u, w〉, also u ∈ Ker(T ∗ ), somit u = 0.
(c) Es existiere solch ein δ. Ist dann (Tv j ) eine Cauchy-Folge im Bild, dann ist (v j ) eine
Cauchy-Folge, also konvergent gegen ein u ∈ H. Dann ist Tu der Limes der Folge
(Tv j ), also ist das Bild abgeschlossen. Da T injektiv ist, folgt nach (b), dass T surjektiv,