Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 118
ebenfalls ein Cauchy-Netz bilden, konvergieren alle Ableitungen. Da der
Ableitungsoperator stetig ist, konvergieren die Ableitungen des Netzes gegen die
Ableitungen von f . Es folgt nun leicht, dass f i → f in S gilt.
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Beispiel 9.3.4 Der Raum C c (R) mit der induktiven Limestopologie (Beispiel 9.2.10) ist
vollständig. Sei hierzu ( f i ) i∈I ein Cauchy-Netz. Das heisst, dass es zu jeder stetigen
Funktion η : R → (0, 1) ein i 0 ∈ I gibt so dass f i − f j ∈ U η für alle i, j ≥ i 0 gilt. Sei C 0 (R)
der Raum aller stetigen Funktionen f : R → C mit lim |x|→∞ f (x) = 0. Dieser Raum ist
ein Banach-Raum mit der Supremumsnorm. Es folgt, dass ( f i ) ein Cauchy-Netz in
C 0 (R) ist, also konvergiert das Netz gleichmässig gegen eine stetige Funktion f . Wir
zeigen, dass f kompakten Träger hat. Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann gibt
es eine stetige Funktion η : R → (0, 1), so dass es zu jedem m ∈ N ein n ≥ m und ein
x n ∈ R mit n ≤ |x| ≤ n + 1 gibt so dass | f (x n )| = sup n≤|x|≤n+1
| f (x)| ≥ 2η(x n ). Sei nun i 0 ∈ I
so dass für alle i, j ≥ i 0 gilt f i − f j ∈ U η . Sei i ≥ i 0 . Dann ist für jedes n wie oben
| f i (x n ) − f (x n )| = lim
j
| f i (x n ) − f j (x n )| ≤ η(x n ).
Da aber | f (x n )| ≥ 2η(x n ), ist f i (x n ) 0, also hat f i keinen kompakten Träger.
Widerspruch!
Damit liegt f in C c (R). Sei nun η : R → (0, 1) eine stetige Funktion und sei i 0 ∈ I so dass
f i − f j ∈ U η/2 für alle i, j ≥ i 0 gilt. Da f der punktweise Limes der f j ist, folgt f i − f ∈ U η .
Da dies für jedes i ≥ i 0 gilt, folgt, dass das Netz f i in C c (R) gegen f konvergiert.