Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 82
Proposition 6.2.8 Sei T = T ∗ ∈ B(H) und f ∈ C(σ(T)) reellwertig. Sei S = f (T), dann ist S
selbstadjungiert. Sei g ∈ C(σ(S)), dann gilt
(g ◦ f )(T) = g( f (T)).
Schreiben wir den Funktionalkalkül alternativ als φ( f, T) = f (T), so heisst das
φ(g ◦ f, T) = φ(g, φ( f, T)).
Beweis: Ist g(x) = x n , dann ist g ◦ f (x) = f (x) n und da h ↦→ h(T) ein
Algebrenhomomorphismus ist, folgt g ◦ f (T) = f (T) n = g( f (T)). Wegen Linearität
beider Seiten folgt die Behauptung für den Fall, dass g ein Polynom ist. Ist allgemein
g j → g eine Folge von Polynomen, die g auf σ(S) approximiert, dann geht g j ◦ f
gleichmässig auf σ(T) gegen g ◦ f , es folgt also
g ◦ f (T) = lim
j
g j ◦ f (T) = lim
j
g j ( f (T)) = g( f (T)). □
6.3 Polarzerlegung
Sei T ein stetiger Operator auf H. Dann ist T ∗ T selbstadjungiert und positiv. Deshalb
ist das Spektrum σ(T ∗ T) eine Teilmenge von [0, ∞), siehe Proposition 6.1.14. Deshalb
ist die Wurzelfunktion x ↦→ √ x eine stetige Funktion auf σ(T ∗ T). Mit Hilfe des
Funktionalkalküls definieren wir |T| = √ T ∗ T ∈ B(H). Dies ist ein selbstadjungierter
Operator mit positivem Spektrum und der Eigenschaft |T| 2 = T ∗ T.
Satz 6.3.1 Sei T ein stetiger Operator auf dem Hilbert-Raum H. Für v ∈ H ist die Norm
von |T|v gleich ||Tv||. Es existiert ein isometrischer Isomorphismus U vom Abschluss von
Bild(|T|) zum Abschluss von Bild(T) so dass T = U|T|. Diese Zerlegung von T heisst
Polarzerlegung. Sie ist eindeutig in folgendem Sinne. Ist T = U ′ P, wobei P
selbst-adjungiert und positiv ist und U ′ : Bild(P) → H ist isometrisch, dann folgt U ′ = U
und P = |T|.
Beweis: Für v ∈ H ist das Quadrat der Norm ||Tv|| 2 gleich
〈Tv, Tv〉 = 〈T ∗ Tv, v〉 = 〈 |T| 2 v, v 〉 = 〈|T|v, |T|v〉 = |||T|v|| 2