Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 78
6.2 Funktionalkalkül
Erinnerung: eine Algebra über C ist ein komplexer Vektorraum A mit einem
bilinearen und assoziativen Produkt A × A → A, geschrieben (a, b) ↦→ ab. Das heisst
also, es gilt
a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca
λ(ab) = (λa)b = a(λb) (ab)c = a(bc)
für alle a, b, c ∈ A und jedes λ ∈ C.
Beispiele 6.2.1 • Man kann jeden Vektorraum V zu einer Algebra machen, indem
man ab = 0 setzt. Dies ist allerdings nicht das interessanteste Beispiel.
• M n (C) mit der Matrixmultiplikation.
• B(H) für einen Hilbert-Raum H, das Produkt ist hier die
Hintereinanderausführung.
• C 0 (X) für einen lokalkompakten Hausdorffraum.
Eine Algebra A heisst unital, wenn es ein Einselement gibt, das ist ein Element
1 = 1 A so dass für jedes a ∈ A gilt
1a = a1 = a.
Wenn es ein solches gibt, ist es eindeutig bestimmt, denn sei 1 ′ ein zweites, dann gilt
1 = 11 ′ = 1 ′ .
Definition 6.2.2 Eine lineare Abbildung φ : A → B zwischen zwei Algebren heisst
Algebrenhomomorphismus, falls φ(ab) = φ(a)φ(b) für alle a, b ∈ A gilt. Ist A unital, so
verlangt man ausserdem, dass B auch unital ist und dass φ(1) = 1 ist.
Ein Algebrenhomomorphismus φ heiss Algebrenisomorphismus, wenn φ bijektiv ist.
Dann ist die Umkehrabbildung ebenfalls ein Algebrenhomomorphismus.
Beispiel 6.2.3 Ist Y ⊂ X eine abgeschlossene Teilmenge des lokalkompakten
Hausdorffraums Raums X, dann ist die Restriktion C 0 (X) → C 0 (Y); f ↦→ f | Y ein
Algebrenhomomorhismus.