Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 97
Nach der Polarisierungsidentität aus Korollar 2.3.7 gilt
b(S, T) = 1 [D(S + T) − D(S − T) + iD(S + iT) − iD(S − iT)] ,
4
wobei D(S) = S ∗ S ist. Die rechte Seite besteht nur aus Spurklasse-Operatoren, also ist
die linke Seite, also T ∗ S ebenfalls Spurklasse. Ersetze nun T durch T ∗ , so folgt (f).
(g) Die erste Abschätzung kommt schon in Satz 7.2.1 vor und die zweite ist die
Abschätzung ||.|| 2 ≤ ||.|| 1 zwischen der l 2 und der l 1 -Norm.
□
Satz 7.3.4 Sei T ein Spurklasse-Operator. Die Spur
Sp(T)
def
=
∑ 〈 〉
Tej , e j
j
hängt nicht von der Wahl der ONB (e j ) ab. Ist T Spurklasse und normal, dann gilt
∑
Sp(T) = λ n dim Eig(T, λ n ),
wobei die Summe über die nichtverschwindenden Eigenwerte λ n läuft.
n
Beweis: Wir wählen zwei Hilbert-Schmidt Operatoren R und S mit T = RS. Dann ist
∑ ∑
〈Te i , e i 〉 = 〈Re i , S ∗ e i 〉 .
i
i
Dies ist gerade das Hilbert-Schmidt Skalarprodukt 〈R, S〉 HS und hängt nach
Proposition 7.2.1 nicht von der ONB ab. Für die zweite Aussage wähle eine ONB, die
aus Eigenvektoren besteht.
□
Sei T kompakt und sei s j die Folge seiner singulären Werte. Es gilt
T ist Spurklasse
T ist Hilbert-Schmidt
(s j ) ∈ l 1 (s j ) ∈ l 2 .
Proposition 7.3.5 Sei SP = SP(H) die Menge der Spurklasse-Operatoren auf einem
gegebenen Hilbert-Raum H und K die Menge der kompakten Operatoren, dann sind