Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 86
Beweis: Wir zeigen zunächst, dass ein gegebener kompakter normaler Operator T 0
einen Eigenwert λ 0 besitzt. Wir zeigen zunächst, dass es ausreicht, T als
selbstadjungiert anzunehmen, wir nehmen also vorübergehend an, die Behauptung
für selbstadjungierte Operatoren gezeigt zu haben. Es ist
T = 1(T + 2 T∗ ) − i (iT + 2 (iT)∗ ) = T 1 + iT 2 eine Linearkombination von zwei
kommutierenden selbstadjungierten Operatoren. Ist T 2 = 0, dann ist T
selbstadjungiert und wir sind fertig. Andernfalls hat T 2 einen Eigenwert ν ∈ R {0}.
Der entsprechende Eigenraum wird von T 1 in sich überführt, also ist T 1 ein
selbstadjungierter kompakter Operator auf diesem Eigenraum, hat dort also einen
Eigenwert µ ∈ R. Dann ist α = µ + iν ein nichtverschwindender Eigenwert von T.
Es bleibt zu zeigen, dass ein selbstadjungierter Operator T 0 einen Eigenwert λ 0
hat.
Lemma 7.1.4 (a) Für einen beschränkten Operator T auf einem Hilbert-Raum H gilt
sup{〈Tv, w〉 : ||v|| = ||w|| = 1} = ||T||.
(b) Ist T überdies selbstadjungiert, dann ist sogar sup{| 〈Tv, v〉 | : ||v|| = 1} = ||T|| .
Beweis: (a) Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt
| 〈Tv, w〉 | ≤ ||Tv|| ||w|| ≤ ||T|| ||v|| ||w|| = ||T||. Damit folgt “≤”. Für die Umkehrung sei T 0
und ||T|| > ε > 0. Wähle ein v ∈ H mit ||v|| = 1 und ||Tv|| > ||T|| − ε. Sei w = 1 Tv. dann
||Tv||
hat auch w die Norm 1 und es ist
〈Tv, w〉 =
〈Tv, Tv〉
||Tv||
= ||Tv|| > ||T|| − ε.
Damit ist das Supremum über alle v und w stets > ||T|| − ε und da ε beliebig ist, folgt
”≥”.
(b) Sei C die linke Seite der behaupteten Gleichung. Nach der Cauchy-Schwarz