Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 122
Definition 10.1.3 Ein topologischer Raum Y heißt separabel, falls Y eine abzählbare
dichte Teilmenge enthält.
Eine Abbildung f : X → Y in einen topologischen Raum Y heißt separable
Abbildung, falls es eine abzählbare Menge C ⊂ Y gibt so dass f (X) ⊂ C gilt.
Lemma 10.1.4 Jede Teilmenge eines separablen metrischen Raums ist separabel, also ist jede
Abbildung in einen separablen metrischen Raum eine separable Abbildung.
Beweis: Sei (X, d) ein separabler metrischer Raum und C ⊂ X eine abzählbare dichte
Teilmenge. Sei A ⊂ X eine beliebige Teilmenge, die wir als überabzählbar
voraussetzen können. Wir wollen zeigen, dass A selbst separabel ist. Sei B ⊂ A × n die
Menge aller Paare (c, n) so dass B 1/n (c) ∩ A ∅. Zu jedem b = (c, n) ∈ B wählen wir
einen Punkt a b ∈ A mit d(a b , c) < 1. Wir behaupten, dass die Menge aller a n b mit b ∈ B
dicht in A liegt. Dazu sei a ∈ A und ε > 0. Sei n ∈ N mit 1 n
c ∈ C mit d(a, c) < 1 n < ε/2, also ist b = (c, n) ∈ B, also d(a b, c) < 1 n
< ε/2. Dann existiert ein
< ε/2. Es folgt
d(a, a b ) ≤ d(a, c) + d(c, a b ) < ε 2 + ε 2 = ε.
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Beispiele 10.1.5 • Die Menge R der reellen Zahlen enthält die abzählbare dichte
Teilmenge Q, ist also separabel.
• Ist (V, d) ein metrischer Raum, so ist jede kompakte Teilmenge K ⊂ V separabel.
Dies sieht man ein, indem man K durch offene Bälle vom Radius 1/n überdeckt,
wobei n in N läuft. Die Mittelpunkte all dieser Bälle ist eine abzählbare dichte
Teilmenge.
• Ein Hilbert-Raum H ist genau dann separabel, wenn er eine abzählbare
Orthonormalbasis (e i ) i∈N besitzt. In diesem Fall ist die Menge aller
Q-Linearkombinationen der Basisvektoren e i eine abzählbare dichte Teilmenge.
• Ist X ein topologischer Raum und (V, d) ein metrischer Raum, so ist jede stetige
Funktion f : X → V mit kompaktem Träger separabel, denn sei K der Träger,
dann ist f (X) = {0} ∪ f (K), also ist das Bild kompakt und damit separabel.
Definition 10.1.6 Ist X ein Maßraum, so heißt eine Abbildung f : X → V in einen
topologischen Raum V wesentlich separabel, falls es zu jeder stetigen Halbnorm p
eine Nullmenge N p ⊂ X und eine abzählbare Menge C p ⊂ V gibt, so dass
(p)
f (X N p ) ⊂ C p , wobei der Abschluss der p-Abschluss ist.