Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 29
Definition 2.3.1 Ein Vektorraum V mit einem Skalarprodukt 〈., .〉 heisst
Prä-Hilbert-Raum.
Beispiele 2.3.2 • Das einfachste Beispiel nach dem Nullraum ist V = K mit
〈 〉 α, β = α ¯β. Oder allgemeiner V = C k mit k ∈ N und
〈v, w〉 = v t ¯w,
• Sei I eine Menge und sei l 2 (I) der L 2 -Raum, wenn man I mit dem Zählmaß
ausstattet. Dann ist l 2 (I) die Menge aller Funktionen f : I → C mit
∑
| f (i)| 2 < ∞.
i∈I
Insbesondere ist für jedes f ∈ l 2 (I) die Menge {i ∈ I : f (i) 0} abzählbar. Das
Skalarprodukt ist gegeben durch
〈 〉 ∑
f, g = f (i)g(i).
i∈I
Die Norm auf einem Prä-Hilbert-Raum V ist definiert durch
||v|| = √ 〈v, v〉, v ∈ V.
In der linearen Algebra wird bewiesen, dass dies in der Tat eine Norm ist. Ausserdem
wird dort die Cauchy-Schwarz-Ungleichung
| 〈v, w〉 | ≤ ||v|| ||w||
für v, w ∈ V bewiesen.
Lemma 2.3.3 Ist V ein normierter Raum, dann ist die Norm ||.|| : V → R eine stetige
Abbildung.
Ist V ein Prä-Hilbert-Raum, dann ist das Skalarprodukt V × V → C eine stetige Abbildung.
Beweis: Es sei v j → v eine konvergente Folge, dann ist gilt | ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣vj
∣ ∣∣
∣ ∣∣ − ||v|| | ≤
∣ ∣∣
∣ ∣∣vj
− v ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ eine
Nullfolge.