Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 85
punktweise gegen eine Funktion ψ. Es ist
|ψ(i)| = lim
n
|Tϕ n n(i)| ≤ c i C.
Wegen
∑ ∑
|c i | 2 = |k(i, j)| 2 < ∞.
i∈N i,j∈N
ist dann ψ ∈ l 2 (N). Es bleibt zu zeigen, dass ∣ ∣ ∣∣Tϕ n
n − ψ ∣ ∣ ∣∣ gegen Null geht. Sei
hierzu ε > 0. dann existiert ein i 0 so dass ∑ i≥i 0
|c i | 2 ≤ ε/8. Es existiert ein n 0 so
dass für n ≥ n 0 gilt
Es folgt für n ≥ n 0 ,
∑i 0 −1
|Tϕ n n(i) − ψ(i)| 2 < ε/2.
i=1
∣ ∣ ∣Tϕ
n
n − ψ ∣ ∑i 0 −1
∣
∣∣ 2
= |Tϕ n n(i) − ψ(i)| 2 +
i=1
< ε 2 + ∑
i≥i 0
4|c i | 2 < ε.
∞∑
i=i 0
|Tϕ n n(i) − ψ(i)| 2
Lemma 7.1.2 Ist T kompakt, dann auch |T| und T ∗ .
Beweis: Wir schreiben T = U|T|, wobei U : Bild(|T|) → Bild(T) eine Isometrie ist. Als
solche hat sie eine Umkehrabbildung V, die ebenfalls eine Isometrie ist, also gilt
|T| = VT und V kann durch Null auf Bild(T) ⊥ fortgesetzt werden zu einem stetigen
Operator auf H. Daher ist |T| kompakt. Wir setzten auch U durch Null fort und
erhalten T ∗ = (U|T|) ∗ = |T|U ∗ . damit ist auch T ∗ kompakt.
□
Satz 7.1.3 (Spektralsatz für kompakte normale Operatoren)
Sei T ein kompakter normaler Operator auf dem Hilbert-Raum H. Es existiert eine Folge
λ j ∈ C × , die entweder endlich ist oder gegen Null geht, so dass der Raum H sich
orthogonal zerlegt:
⊕
H = Ker(T) ⊕ Eig(T, λ j ).
Jeder Eigenraum Eig(T, λ j ) = {v ∈ H : Tv = λ j v} ist endlich-dimensional und die
Eigenräume sind paarweise orthogonal.
j