Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 88
Es bleibt zu zeigen, dass jeder Eigenraum Eig(T, λ) mit λ 0 endlich-dimensional ist
und dass sich die Eigenwerte nicht in C × häufen können. Für λ 0 induziert 1 λ T einen
kompakten Operator auf Eig(T, λ), also ist auf diesem Raum die Identität ein
kompakter Operator, das bedeutet, dass der abgeschlossene Einheitsball ¯B 1 (0)
norm-kompakt ist, damit ist Eig(T, λ) endlich-dimensional nach Satz 3.1.1.
Häufen sich schliesslich die Eigenwerte in einem µ 0, so gibt es ein ε > 0 und
unendlich viele Eigenwerte λ mit |α| ≥ ε. Ersetzen wir T durch 1 T, können wir
ε
annehmen, T habe unendlich viele Eigenwerte |λ| ≥ 1. Sei U der Abschluss der
Summe all dieser Eigenräume. Für u ∈ U gilt ||Tu|| ≥ ||U||. Damit erhalten wir wieder,
dass der abgeschlossene Einheitsball in U kompakt ist, ein Widerspruch. Der Satz ist
bewiesen.
Korollar 7.1.5 (Umformulierung des Spektralsatzes) Sei T ein kompakter Operator auf
einem Hilbert-Raum H. Seien λ j die Eigenwerte wie im Satz und sei P j die
Orthogonalprojektion auf den Eigenraum Eig(T, λ j ), dann gilt
∑
T = λ j P j ,
j
wobei die Reihe in der Operatornorm konvergiert. Ist umgekehrt λ j eine beliebige Nullfolge in
C × und ist (P j ) eine beliebige Folge von paarweise orthogonalen Orthoprojektionen mit
endlich-dimensionalen Bildern, dann ist die Reihe ∑ j α j P j normkonvergent gegen einen
kompakten Operator.
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Beweis: Klar.
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Korollar 7.1.6 (Noch eine Umformulierung) Sei T : H → H ein normaler kompakter
Operator. Dann hat H eine Orthonormalbasis (φ j ) j∈I bestehend aus Eigenvektoren von T, d.h.
für jedes j existiert ein λ j ∈ C mit Tφ j = λ j φ j .
Für jedes T > 0 ist die Menge aller j ∈ J mit |λ j | > T endlich.
Beweis: Klar.
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Satz 7.1.7 Ein stetige Operator T auf einem Hilbert-Raum H ist genau dann kompakt,
wenn es eine Folge F n von stetigen Operatoren von endlichem Rang gibt, so dass
||T − F n || op gegen Null geht, wenn n → ∞.