Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 31
Korollar 2.3.7 Seien V, Z Vektorräume über C und sei
b : V × V → Z
eine sesquilineare Abbildung. Sei D(v) = b(v, v) die Diagonale. dann gilt für alle v, w ∈ V,
b(v, w) = 1 [D(v + w) − D(v − w) + iD(v + iw) − iD(v − iw)] ,
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also ist b durch D eindeutig festgelegt.
Beweis: Wie im Satz.
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Definition 2.3.8 Eine lineare Isometrie zwischen zwei normierten Räumen V, W ist
eine lineare Abbildung T : V → W mit
||Tv|| = ||v||
für jeden Vektor v ∈ V. Eine lineare Isometrie ist injektiv und ist sie zusätzlich
surjektiv, so ist ihre Umkehrabbildung ebenfalls eine lineare Isometrie. In dem Fall
heisst sie isometrischer Isomorphismus
Sind V und W Hilbert-Räume und ist T : V → W eine Isometrie, so folgt
〈Tv, Tw〉 = 〈v, w〉
für alle w, w ∈ V. Dies folgt aus den Polarisierungsidentitäten (Satz 2.3.6).
Definition 2.3.9 Ein Orthonormalsystem oder ONS in einem Hilbert-Raum H ist eine
Familie von Vektoren (e i ) i∈I für die gilt
〈
ei , e j
〉
=
⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
1 falls i = j,
0 sonst.
Ein Orthonormalsystem (e i ) i∈I heisst vollständiges ONS, oder Orthonormalbasis
ONB, falls der Orthogonalraum der e i aufgespannte Untervektorraum dicht liegt in H.