Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 72
Satz 6.1.10 (Spektralradiusformel) Sei H ein Hilbert-Raum und T ∈ B(H).
(a) Das Spektrum σ(T) ist nicht-leer.
(b) Es gilt r(T) ≤ ||T|| und
(c) Ist T normal, so gilt
r(T) = lim
n
||T n || 1 n .
r(T) = ||T|| .
Beweis: (a) Angenommen, σ(T) = ∅. Dann ist T − λ stets invertierbar, also die
Abbildung λ ↦→ (T − λ) −1 auf ganz C holomorph. Für |λ| > 2 ||T|| ist
( ∣ ∣
1 T) n ∣∣ ∣∣∣ ≤ ||T||n
λ |λ| n
und daher konvergiert die Reihe
≤ 1 2 n
∞∑ ( ) 1 n
λ T =
n=0
(
1 − 1 λ T ) −1
.
Es ist dann
∣ ∣ ∣ ∣(T − λ)
−1 ∣ ∣ ∣
∣ ∣∣ =
1
|λ|
Also folgt für v, w ∈ H und |λ| > 2 ||T||,
∣ (1 − 1 ∣ ∣∣∣∣ ∣∣∣∣
λ T)−1 ≤ 1
|λ|
∞∑
n=0
2 −n = 2
|λ| .
| 〈 (T − λ) −1 v, w 〉 ≤
2 ||v|| ||w||
.
|λ|
Die holomorphe Abbildung λ ↦→ 〈 (T − λ) −1 v, w 〉 ist auf {|λ| ≤ ||T||} beschränkt, nach
obigem also insgesamt beschränkt, damit konstant, aber nach der obigen
Abschätzung kann diese Konstante nur die Null sein. Wir erhalten also
(T − λ) −1 = 0,
ein Widerspruch! Damit ist die Annahme falsch, also folgt σ(T) ∅.
(b) r(T) ≤ ||T|| folgt aus Satz 6.1.7. Wir beweisen die Ungleichungen
r(T) ≤ lim inf ‖T n ‖ 1 n ≤ lim sup ‖T n ‖ 1 n ≤ r(T),