Funktionalanalysis - Mathematik

FUNKTIONALANALYSIS 111
Beispiele 9.2.5
• Jede Norm ist eine Halbnorm.
• Die konstante Null ist eine Halbnorm.
• Auf C ∞ ([0, 1]) ist für k ∈ N die Abbildung
eine Halbnorm.
p k ( f ) = sup | f (k) (x)|
x∈R
• Ist p eine Halbnorm auf E und ist K = {v ∈ V : p(v) = 0}, dann ist K ein
Untervektorraum und p induziert eine Norm auf dem Quotientenraum V/K.
Sei p eine Halbnorm auf E. Sei
B(p) = {v ∈ V : p(v) < 1}.
Dann gilt
• B(p) ist konvex,
• B(p) ist ausgewogen, d.h. ist x ∈ B(p) und ist α ∈ K mit |α| ≤ 1, dann ist αx ∈ B(p),
• B(p) ist absorbierend, d.h., für jedes x ∈ E gibt es ein α ∈ K mit x ∈ αB(p).
Es gilt
p(x) = inf
{t > 0 : 1 }
t x ∈ B(p) .
Beachte, dass in einem topologischen Vektorraum jede Nullumgebung absorbierend
ist.
Proposition 9.2.6 Ist B eine Teilmenge eines Vektorraums E , die konvex, ausgewogen und
absorbierend ist, dann ist
eine Halbnorm auf E.
p(x)
{
def
= inf t > 0 : 1 }
t x ∈ B
Beweis: Da B absorbierend ist, nimmt p endliche Werte an. Da B ausgewogen ist, folgt
p(αx) = |α|p(x). Da B konvex ist, folgt die Dreiecksungleichung.
□