199 - Österreichische Mathematische Gesellschaft

Die Beispiele der 18. IMO in Österreich
1. In einem ebenen konvexes Viereck mit dem Flächeninhalt 32 cm 2 sei
die Summe der Länge der einen Diagonale und der Längen zweier gegenüberliegender
Seiten gleich 16 cm.
Man bestimme alle möglichen Längen der anderen Diagonale.
2. Sei P 1 (x) = x 2 − 2 und P j (x) = P 1 (P j−1 (x)) für j = 2,3,···.
Man zeige, dass für jede positive natürliche Zahl n alle Lösungen der
Gleichung P n (x) = x reell und paarweise verschieden sind.
3. Eine quaderförmige Schachtel sei derart, dass sie vollständig mit Einheitswürfeln
(Kantenlänge 1) gefüllt werden kann. Legt man möglichst
viele Würfel des Volumens 2 so in die Schachtel, dass ihre Kanten parallel
zu den Kanten der Schachtel liegen, so füllt ihr Gesamtvolumen
genau 40 % des Hohlraums der Schachtel.
Man bestimme die Innenmaße aller Schachteln mit dieser Eigenschaft.
(2 1/3 = 1.2599...)
4. Man bestimme den größten Wert des Produkts positiver ganzer Zahlen,
deren Summe 1976 ist.
5. Gegeben sei folgendes System von p Gleichungen mit q = 2p Unbekannten
x 1 ,x 2 ,··· ,x q :
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ··· + a 1q x q = 0
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ··· + a 2q x q = 0 (1)
··· ···
a p1 x 1 + a p2 x 2 + ··· + a pq x q = 0,
wobei a i j ∈ {−1,0,1}, i = 1,2,..., p; j = 1,2,...,q.
Man beweise, dass eine Lösung (x 1 ,x 2 ,··· ,x q ) von (1) mit folgenden
Eigenschaften existiert:
(a) alle x j ( j = 1,2,...,q) sind ganzzahlig,
(b) mindestens eines der x j ( j = 1,2,...,q) ist ungleich Null,
(c) ∣ ∣ x j
∣ ∣ ≤ q ( j = 1,2,...,q).
6. Eine Zahlenfolge u 0 ,u 1 ,u 2 ,... sei wie folgt definiert:
u 0 = 2, u 1 = 5/2, u n+1 = u n (u 2 n−1 − 2) − u 1 für n = 1,2,···
Man zeige, dass [u n ] = 2 (2n −(−1) n )/3 gilt, n = 1,2,...
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