199 - Österreichische Mathematische Gesellschaft

nierten speziellen Lagrangesche Unterräume sowie die Verallgemeinerung dieser
Begriffe auf geeignete symplektische Mannigfaltigkeiten. Der zweite Teil von
A. Cannas da Silva geht auf Mannigfaltigkeiten ein, auf denen eine Hamiltonsche
Wirkung einer Torusgruppe gegeben ist, und stellt ihnen projektive Varietäten mit
einer solchen Wirkung gegenüber, wobei in beiden Fällen die Klassifizierung behandelt
wird. Der dritte Beitrag von E. Lerman behandelt die Freiheit von Toruswirkungen
auf Tangentialbündeln von Tori und ihre Beziehungen zu Kontaktmannigfaltigkeiten
mit Toruswirkung.
Alle drei Beiträge geben hinreichend gestraffte Überblicke über die jeweiligen
Themen. Den breitesten Blickwinkel hat der zweite, der auch als einziger ein
Sachverzeichnis aufweist. Insgesamt ist der ganze Band eine gute Zusammenstellung
von Kostproben verschiedener Richtungen, in die sich die Theorie der
symplektischen Mannigfaltigkeiten entwickelt hat.
W. Bulla (Graz)
E. B. Burger, R. Tubbs: Making Transcendence Transparent. An intuitive
approach to classical transcendental number theory. Springer, New York, Berlin,
Heidelberg, 2004, IX+263 S. ISBN 0-387-21444-5 H/b 39,95.
Dieses Buch ist eine sehr gute Einführung in die Theorie der transzendenten Zahlen.
Es enthält ausführliche, klare Beweise der klassischen Ergebnisse, die im 19.
Jahrhundert und in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts veröffentlicht wurden.
Das erste Kapitel ist den Liouvilleschen Zahlen gewidmet, die die ersten Beispiele
von transzendenten Zahlen sind. Im zweiten Kapitel kann man einen Beweis der
Transzendenz von e finden sowie auch einen der Irrationalität von π. Die Transzendenz
von π wird im dritten Kapitel bewiesen und sogar die Transzendenz von
allen Zahlen e α , wo α ≠ 0 eine algebraische Zahl ist (Satz von Hermite-Lindemann):
wäre π algebraisch, dann wäre auch e iπ = −1, ein Widerspruch. Der Satz
von Lindemann–Weierstrass über die algebraische unabhängigkeit solcher Zahlen
für lineare unabhängige α wird hier erwähnt.
Dann kommt die Transzendenz von e π an der Reihe (Satz von Gelfond). Im fünften
Kapitel findet man die Lösung des siebten Hilbertschen Problems: 2 √2 ist eine
transzendente Zahl (unabhängig bewiesen von Gelfond und Schneider). Danach
folgt eine Zusammenfassung des Beweises des Satzes von den sechs Exponentiellen.
Die Mahlersche Klassifikation der Zahlen ist der Kernpunkt des sechsten Kapitels.
Das siebte Kapitel beschäftigt sich mit der Transzendenz von Γ(1/4) 2 / √ π
und mit einigen Ergebnissen von Schneider über die Transzendenz von Perioden
von elliptischen Kurven. Das achte und letzte Kapitel ist eine Einleitung in die
Theorie der Transzendenz in Körpern mit endlicher Charakteristik.
Um dieses Buch zu genießen, sind keine besonderen Vorkenntnisse notwendig.
Die Verfasser haben sich bemüht, es für Anfänger zu schreiben, und sie haben
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