Matheskript-BOS-2 Lernbaustein 6 - von P. Merkelbach

BBS Gerolstein
Mathematik
Mathematik
für die
Berufsoberschule II
Lernbaustein 6
Lineare Algebra
www.p-merkelbach.de/bos2/mathe/Matheskript-BOS-2 Lernbaustein 6.pdf
Erstellt von: Herrn StD Percy Merkelbach
Stand: 28.03.2011
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Skript Mathematik BOS II
Inhaltsverzeichnis
Lernbaustein 6 ................................................................................................................................3
Lineare Algebra...............................................................................................................................3
1. Matrizen...............................................................................................................................3
1.1 Darstellung und Arten von Matrizen .............................................................................3
1.2 Matrizenaddition...........................................................................................................4
1.3 S-Multiplikation.............................................................................................................5
1.4 Matrizenmultiplikation (Skalarprodukt)..........................................................................5
1.5 Transponierte Matrix ....................................................................................................7
1.6 Übungen ......................................................................................................................8
2. Lineare Verflechtungen......................................................................................................11
2.1 Mehrstufige Produktionsprozesse ..............................................................................11
3. Lineare Gleichungssysteme...............................................................................................14
3.1 Darstellung von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen.......................................14
3.2 Determinanten ...........................................................................................................14
3.3 Lösen von linearen Gleichungssystemen mit der Cramer’schen Regel ......................16
3.4 Inverse Matrix und Gauß-Algorithmus........................................................................18
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Skript Mathematik BOS II
Lernbaustein 6
Lineare Algebra
Die lineare Algebra ist eine mathematische Disziplin, die sich mit Größen beschäftigt, welche in linearer
Beziehung zueinander stehen.
1. Matrizen
In den Wirtschaftswissenschaften fallen oft große Datenmengen an, die zu „Blöcken“ zusammengefasst
werden können. Mit Hilfe der Matrizenrechnung lassen sich viele Beziehungen zwischen solchen
Datenblöcken sehr übersichtlich darstellen und auswerten.
In der Praxis liegen solche Datenblöcke schon oft in Form von Tabelle vor.
1.1 Darstellung und Arten von Matrizen
Ein Unternehmen betreibt 4 Kiesgruben K 1 , K 2 , K 3
und K 4 und 3 Betonwerke B 1 , B 2 und B 3 , in denen
der Kies aus den Kiesgruben zu Beton verarbeitet
wird. Für den Monat Januar sind die Transporte
(Einheit Tonnen) von den Kiesgruben zu den
Betonwerken in einer Tabelle zusammengefasst.
Tabelle:
nach
von
B 1 B 2 B 3
K 1 100 200 50
K 2 150 150 200
K 3 0 200 250
K 4 150 0 0
Transportmatrix T
In der nebenstehenden Tabelle werden die
Transportkosten zusammengefasst (in € pro
Tonne), die beim Transport des Kieses von den
Kiesgruben K i (i = 1, 2, 3, 4) zu den Betonwerken B j
(j = 1, 2, 3) anfallen.
Kostenmatrix K
T
K
⎛100 200 50 ⎞
⎜
⎟
150 150 200
= ⎜
⎟
⎜ 0 200 250 ⎟
⎜
150 0 0
⎟
⎝
⎠
nach
von
B 1 B 2 B 3
K 1 0,50 0,30 0,80
K 2 0,50 0,50 0,45
K 3 1,00 0,65 0,55
K 4 0,25 0,80 0,90
⎛ 0,50 0,30 0,80 ⎞
⎜
⎟
0,50 0,50 0, 45
= ⎜
⎟
⎜ 1,00 0,65 0,55 ⎟
⎜
0, 25 0,80 0,90⎟
⎝
⎠
Unter einer Matrix versteht man ein Schema von Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind.
Enthält eine Matrix z.B. 3 Zeilen und 5 Spalten, so spricht man von einer 3x5-Matrix.
Die Zahlen innerhalb einer Matrix heißen Elemente der Matrix. Sind in einer Matrix die Zeilen- und
Spaltenanzahl gleich, ist ihre Form also quadratisch, so nennt man eine solche Matrix eine quadratische
Matrix. In einer quadratischen Matrix bezeichnet man die Diagonale „von links oben nach rechts unten“ als
ihre Hauptdiagonale.
⎛ 2 3 4 ⎞
⎜ ⎟
A = 5 −2 2
⎜ 1 0 −1⎟
⎝ ⎠
Hauptdiagonale
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Skript Mathematik BOS II
Die Aktienkurse der Unternehmen AEG, BOSS und
VW sind für den Zeitraum einer Woche in Euro
angegeben.
Will man ein bestimmtes Element der Matrix A
herausgreifen, dann muss angegeben werden, in
welcher Zeile und in welcher Spalte dieses Element
steht.
Jedes Element einer Matrix wird deshalb mit
Doppelindizes versehen. Der erste Index gibt an,
aus welcher Zeile, und der zweite Index gibt an aus
welcher Spalte der Matrix das Element kommt.
a 24 ist das Element, das in der Matrix A in der 2.
Zeile und in der 4. Spalte steht.
Ein lineares Gleichungssystem (LGS), das aus 3
Gleichungen mit 3 Variablen besteht, besitzt eine
quadratische Koeffizientenmatrix.
Die rechte Seite des LGS lässt sich als eine 1-
spaltige Matrix darstellen.
Eine Matrix, die nur aus einer Spalte besteht, wird
auch Spaltenvektor genannt und eine Matrix, die
nur aus einer Zeile besteht wird demnach
Zeilenvektor genannt.
Eine Matrix, die in der Hauptdiagonalen nur aus
Einsen besteht und ansonsten nur Nullen aufweist,
wird als Einheitsmatrix E bezeichnet.
Mo Di Mi Do Fr
AEG 128 128 131 136 140
BOSS 1035 1030 1036 1040 1050
VW 398 400 400 402 450
⎛ 128 128 131 136 140 ⎞
⎜
⎟
A = 1035 1030 1036 1040 1050
⎜ 398 400 400 402 450 ⎟
⎝
⎠
⎛ a11 a12 a13 a14 a15
⎞
⎜
⎟
A = a21 a22 a23 a
24
a25
⎜
⎟
⎝ a31 a32 a33 a34 a35
⎠
5x + 3x + x = 0
1 2 3
2x − x + 4x
= −3
1 2 3
−2x − 2x + 3x
= 1
1 2 3
⎛ 5 3 1⎞
⎜ ⎟
A = 2 −1 4
⎜ −2 −2 3⎟
⎝ ⎠
⎛1 0 0⎞
⎜ ⎟
E = 0 1 0
⎜ 0 0 1⎟
⎝ ⎠
⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟
b = −3
⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
1.2 Matrizenaddition
Die Transportmatrix A gibt die von den Kieswerken
K i zu den Betonwerken B j transportierten Mengen
für den Monat Januar an.
Die Transportmatrix B gibt die transportierten
Mengen für den Monat Februar an.
Möchte man nun die Summe der transportieren
Mengen von den einzelnen Kieswerken zu den
jeweiligen Betonwerken berechnen, muss man die
einzelnen Koeffizienten komponentenweise
addieren.
C = A + B mit c = a + b
ij ij ij
Die Subtraktion erfolgt analog:
C = A − B mit c = a − b
ij ij ij
⎛100 200 50 ⎞
⎜
⎟
150 150 200
A = ⎜
⎟
⎜ 0 200 250 ⎟
⎜
150 0 0 ⎟
⎝
⎠
⎛ 250 400 150 ⎞
⎜
⎟
250 350 350
C = ⎜
⎟
⎜ 50 300 450 ⎟
⎜
250 100 0 ⎟
⎝
⎠
⎛150 200 100 ⎞
⎜
⎟
100 200 150
B = ⎜
⎟
⎜ 50 100 200 ⎟
⎜
100 100 0 ⎟
⎝
⎠
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Skript Mathematik BOS II
1.3 S-Multiplikation
Das Betonunternehmen rechnet damit, dass sich alle Kosten für den Transport von den Kiesgruben zu den
Betonwerken innerhalb der nächsten 5 Jahre verdoppeln werden.
Da sich alle Kosten verdoppeln werden, muss man
jedes Element von K mit 2 multiplizieren.
K wird also mit der reellen Zahl 2 multipliziert
*
K = 2⋅
K .
Man nennt diese Rechenoperation S-Multiplikation
oder Skalar-Multiplikation.
Die S-Multiplikation ist an kein Matrixformat
gebunden.
⎛ 0,50 0,30 0,80 ⎞
⎜
⎟
0,50 0,50 0, 45
K = ⎜
⎟
⎜ 1,00 0,65 0,55 ⎟
⎜
0, 25 0,80 0,90
⎟
⎝
⎠
K
*
= 2⋅
K
K
*
⎛ 1,00 0,60 1,60 ⎞
⎜
⎟
1,00 1,00 0,90
= ⎜
⎟
⎜ 2,00 1,30 1,10 ⎟
⎜
0,50 1,60 1,80 ⎟
⎝
⎠
1.4 Matrizenmultiplikation (Skalarprodukt)
Ein Aktienanleger kauft an einem Tag 30 AEG-, 50 BOSS- und 20 VW-Aktien. Die Aktienkurse an diesem
Tag betragen für AEG 136, für BOSS 1040 und für VW 402 €.
Wie hoch ist der Preis, den der Anleger für alle Aktien bezahlen muss?
Das Produkt aus einem Zeilenvektor und einem
Spaltenvektor bezeichnet man als Skalarprodukt.
⎛ 136 ⎞
⎜ ⎟
30 50 20 ⋅ 1040
⎜ 402 ⎟
⎝ ⎠
⎛ b1
⎞
⎜ ⎟
a a a ⋅ b = a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅b
⎜ ⎟
⎝b3
⎠
( )
( ) ( )
1 2 3 2 1 1 2 2 3 3
= ( 30⋅ 136 + 50⋅ 1040 + 20⋅ 402)
= 64120
Ein Aktienspekulant kauft an zwei verschiedenen Tagen jeweils 30 AEG-, 50 BOSS- und 20 VW-Aktien. Die
Aktienkurse an diesen beiden Tagen betragen für AEG 136 und 140, für BOSS 1040 und 1050 und für VW
402 und 450 €.
Wie hoch ist der Gesamtkaufpreis an den beiden Tagen?
Fasst man die gekauften Mengen in dieser
Reihenfolge in einem 3-spaltigen Zeilenvektor und
die Kurse in gleicher Reihenfolge in einer 3x2-
Matrix zusammen, dann kann man mit Hilfe der
Matrizenmultiplikation den Gesamtpreis für alle
Aktien an den beiden Tagen berechnen, indem man
den linksseitigen Zeilenvektor jeweils mit den
Spaltenvektoren der 3x2-Matrix multipliziert. Das
Ergebnis ist ein 2-spaltiger Zeilenvektor.
⎛ 136 140 ⎞
⎜ ⎟
30 50 20 ⋅ 1040 1050
⎜ 402 450 ⎟
⎝ ⎠
( )
(
= 30⋅ 136 + 50⋅ 1040 + 20⋅
402
30⋅ 140 + 50⋅ 1050 + 20⋅
450
)
= ( 64120 65700)
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Skript Mathematik BOS II
Ein Börsenmakler kauft an einem Tage für 4
Kunden AEG-, BOSS- und VW-Aktien zu den
Tageskursen 136,1040 und 402 €.
Der 1. Kunde ordert 30 AEG-, 50 BOSS- und 20
VW-Aktien, der 2. Kunde ordert 60 AEG- und 70
BOSS-Aktien, der 3. Kunde ordert 15 AEG- und 25
VW-Aktien und der 4. Kunde ordert 10 AEG- und
jeweils 30 BOSS- und VW-Aktien. Berechnen Sie,
welche Kaufpreise den 4 Kunden in Rechnung
gestellt werden.
Das Ergebnis dieser Multiplikation ist ein
Spaltenvektor, der die Kaufpreise aller Aktien für
jeden Kunden wiedergibt.
Kunde / Aktie⋅ Aktie / Preis = Kunde / Preis
⎛30 50 20⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 136 ⎞
⎜
60 70 0
⎟ ⋅⎜ ⎜
1040 ⎟
⎜15 0 25⎟ ⎜ 402 ⎟
⎜
10 30 30⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎛30⋅ 136 + 50⋅ 1040 + 20⋅
402⎞
⎜
⎟
60⋅ 136 + 70⋅ 1040 + 0⋅
402
= ⎜
⎟
⎜ 15⋅ 136 + 0⋅ 1040 + 25⋅
402 ⎟
⎜
10⋅ 136 + 30⋅ 1040 + 30⋅402⎟
⎝
⎠
⎛ 64120⎞
⎜ ⎟
80960
= ⎜ ⎟
⎜ 12090 ⎟
⎜
44620⎟
⎝ ⎠
Ein Börsenmakler kauft an 2 verschiedenen Tagen für 4 Kunden jeweils immer die gleiche Anzahl an AEG-,
BOSS- und VW-Aktien. Anzahl siehe vorherige Aufgabe. Die Aktienkurs steigen am 2.Tag auf AEG 140,
BOSS 1050 und VW 450 €.
Die Multiplikation des 1. Zeilenvektors von A mit
dem 1. Spaltenvektor von B ergibt den Kaufpreis
den der 1. Kunde für seine Käufe am 1. Tag zu
zahlen hat.
Multipliziert man nacheinander alle Zeilenvektoren
der Matrix A mit allen Spaltenvektoren der Matrix B,
dann erhält man eine Matrix, die die gesuchten
Beträge für jeden Kunden an den beiden Tagen
enthält.
Kunde / Aktie⋅ Aktie / Tagespreis = Kunde / Tagespreis
⎛30 50 20⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 136 140 ⎞
60 70 0 ⎜ ⎟
A⋅ B = ⎜
⎟⋅ 1040 1050
⎜15 0 25⎟ ⎜ 402 450 ⎟
⎜
10 30 30⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎛ 64120 65700⎞
⎜
⎟
80960 81900
= ⎜
⎟
⎜ 12090 13350 ⎟
⎜
44620 46400⎟
⎝
⎠
Da jeder Zeilenvektor der Matrix A mit jedem Spaltenvektor der Matrix B elementweise multipliziert wird,
muss die Matrix A genauso viele Spalten haben wie die Matrix B Zeilen besitzt.
Allgemein: Ist A eine m x n-Matrix und B eine r x s-Matrix, dann muss also n = r gelten, damit das Produkt
A⋅
B gebildet werden kann. Die Produktmatrix C hat dann das Format m x s, also genauso viele Zeilen wie
die Matrix A und genauso viele Spalten wie die Matrix B.
A ⋅ B = C
⎛30 50 20⎞ ⎛ 64120 65700⎞
⎜ ⎟ ⎛ 136 140 ⎞ ⎜ ⎟
⎜
60 70 0
⎟ ⎜ ⎟ 80960 81900
⋅ 1040 1050 = ⎜ ⎟
⎜15 0 25⎟ ⎜
12090 13350
402 450
⎟
⎜ ⎟
⎜ 10 30 30⎟ ⎝ ⎠
⎜ 44620 46400⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c = a ⋅ b + a ⋅ b + a ⋅b
32 31 12 32 22 33 32
= 15⋅ 140 + 0⋅ 1050 + 25⋅
450
= 13350
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Skript Mathematik BOS II
Die nebenstehenden beiden Matrizen A und B
können nur als A⋅
B miteinander multipliziert
werden. Als B ⋅ A können die Matrizen nicht
multipliziert werden, da das Format beider Matrizen
dann nicht übereinstimmt, da die Anzahl der
Spalten von B nicht mit der Anzahl der Zeilen von A
übereinstimmt.
⎛ 4 −1 3 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 0,5 0 1 −4 8
A = ⎜ ⎟ B = ⎜ ⎟
⎜10 5 −7 −1⎟ ⎜ 0 −2⎟
⎜ 0 0 0 −1⎟ ⎜ 6 9 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Bei 2 quadratischen Matrizen vom selben Format
lässt sich stets das Produkt A⋅
B als auch das
Produkt B ⋅ A bilden.
Die Ergebnismatrix C ist zwar in beiden Fälle eine
3x3-Matrix aber die einzelnen Elemente stimmen
nicht über ein.
Daraus folgt:
Eine Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.
A⋅ B ≠ B ⋅ A
⎛ 4 −2 3⎞ ⎛1 0 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = 1 4 2 B = 0 2 −3
⎜ 3 2 1⎟ ⎜6 −6 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 22 −22 12 ⎞ ⎛ 4 −2 3⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A⋅ B = 13 −4 −8 B ⋅ A = −7 2 1
⎜ 9 −2 −4⎟ ⎜ 24 −32 8⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Lässt sich für eine Matrix A das Produkt E ⋅ A bzw.
A⋅
E mit der Einheitsmatrix E bilden, so ist die
Produktmatrix in beiden Fällen wieder A .
Ist A eine quadratische Matrix so ist die
Multiplikation mit der Einheitsmatrix E kommutativ.
⎛ 2 1 3⎞ ⎛1 0 0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = 3 4 2 E =
0 1 0
⎜ 4 0 1⎟ ⎜ 0 0 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A⋅ E = A und E ⋅ A = A
1.5 Transponierte Matrix
Vertauscht man in einer (m x n)-Matrix A die Zeilen
mit den Spalten, erhält man die transponierte
T
Matrix A vom Format (n x m).
Es gilt:
T
T
( A ) =
Folgende Matrizenmultiplikation gilt:
( )
A
T T T
A⋅ B = B ⋅ A
⎛ 4 −2 3⎞ ⎛ 4 1 3⎞
⎜ ⎟ T ⎜ ⎟
A = 1 4 2 A = −2 4 2
⎜ 3 2 1⎟ ⎜ 3 2 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 2 3⎞
⎛ 1 3 2⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 4 8 ⎞
A = ⎜ 0 1
4 1 2
⎟ B = A⋅ B = ⎜
10 15
⎟
⎝ ⎠ ⎜1 1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎛1 4⎞
2 0 1 4 10
T ⎜ ⎟ T ⎛ ⎞ T T ⎛ ⎞
A = 3 1
B = ⎜ ⋅ =
3 1 1
⎟ B A ⎜
8 15
⎟
⎜ 2 2⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
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Skript Mathematik BOS II
1.6 Übungen
1. Addieren Sie die Matrizen A und B. Welches Format haben die beiden Matrizen?
⎛ 4 3 7 1 ⎞ ⎛ −5 −2 0 3,1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = 0 4 2 5 B = 4,5 3 −2 0,5
⎜ 0 3 6 −1⎟ ⎜ 7 0 0 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. Berechnen Sie 4⋅ ( A + B ) und 4⋅ A + 4⋅
A ⎛ 6 8 3⎞ ⎛ 0 2 −1⎞
= ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ 4 −2 0⎠ B
⎝ 3 2 2 ⎠
B und vergleichen Sie die Ergebnisse.
3. Berechen Sie die folgende Matrizenrechnungen:
⎛ −3 0 1 ⎞ ⎛1 −2 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = 4 2 − 5 B = 0 − 4 2 C =
2
⎜ −2 1 0 ⎟ ⎜ 3 0 −1⎟ ⎜ −1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a) ( A + B)
⋅C b) ⋅
A B c) 2⋅ B + 4⋅
A
4. Für die 100-Jahr-Feier eines Großunternehmens sind an den 4 Produktionsstätten Festbankette
geplant, zu denen je 3 Menüs zur Auswahl stehen sollen. 3 Cateringgesellschaften (CG) haben
Angebote für die Menüs abgegeben (in €).
Entscheiden Sie welche Cateringgesellschaft an welchen Ort liefern soll, damit die Gesamtkosten so
gering wie möglich sind.
CG1 CG2 CG3 Dortmund Hamburg Mainz
Menü 1 32 32,50 33,50 Menü 1 250 50 150
Menü 2 31 27 28,50 Menü 2 150 50 140
Menü 3 38,50 40 40 Menü 3 400 100 200
5. Die Impex AG bezieht aus Amerika von 4 verschiedenen Lieferanten die Produkte I, II und III. Die
Handelsgesellschaft tätigt ihre Käufe auf Dollarbasis. Die Kaufpreise werden für die Kalkulation des
Verkaufspreises in Euro umgerechnet und sind in der unten aufgeführten Liste zusammengefasst.
Lieferant Produkt I Produkt II Produkt III
Brubeck Inc. 10,30 € 412,10 € 110,80 €
American Globe 12,10 € 400,20 € 105,30 €
Amex 10,80 € 398,40 € 108,10 €
Trading Comp. 11,20 € 405,60 € 115,70 €
a) Durch den Kurssturz des Dollars sind alle Euro-Preise um 10% gesunken. Berechnen Sie die
neuen Preise in Euro
b) Ermitteln Sie den günstigsten Lieferanten, wenn die Impex AG folgende Mengen von einem
einzigen Lieferanten beziehen möchte.
2400 Stück von Produkt I, 560 Stück von Produkt II und 1250 Stück von Produkt III.
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Skript Mathematik BOS II
6. Ein kleiner Industriebetrieb stellt aus 4 Bauteilen zwei Fertigerzeugnisse her. In der Tabelle sind die
ME der Bauteil zusammengefasst, die für je ein Fertigerzeugnis benötigt werden.
a) Die Herstellungsmenge für einen Auftrag X beträgt 250 ME von F 1 und 200 ME von F 2 . Wie viel
ME der Bauteile werden für diesen Auftrag benötigt?
b) Wie hoch sind die Bauteilekosten für je ein Fertigerzeugnis wenn 1 ME von B 1 4,00 €, 1 ME von
B 2 6,00 €, 1 ME von B 3 14,00 € und 1 ME von B 4 8,00 € kostet?
c) Wie viel € betragen die gesamten Bauteilekosten für Auftrag X?
d) Die Fertigungskosten (FK), Verwaltungs- und Betriebskosten (VwVtK) betragen je ME 110,00 €
für F 1 und 140,00 € für F 2 . Berechnen Sie die FK und VwVtK für Auftrag X. Wie hoch sind die
gesamten Selbstkosten?
e) Die Verkaufspreise (netto) je ME betragen 180,00 € für F 1 und 235,00 € für F 2 . Berechnen sie den
Gesamterlös und den Gewinn aus Auftrag X.
Bauteil ME der Bauteile je Fertigerzeugnis
F 1 F 2
B 1 3 2
B 2 1 4
B 3 0 3
B 4 4 0
7. Aus 3 Rohstoffen werden 3 elektronische Bauteile
hergestellt. Die für ein Bauteil benötigten ME an
Rohstoffen sind in der Tabelle zusammengefasst.
a) Wie viel ME der Rohstoffe benötigt man zur
Herstellung von 800 ME von B1, 500 ME von
B2 und 900 ME von B3?
ME der Rohstoffe je Bauteil
Rohstoff B 1 B 2 B 3
R 1 2 4 3
R 2 4 1 2
R 3 3 2 3
b) Wie hoch sind die Rohstoffkosten je Bauteil und für die in a) genannten Fertigungsmengen bei
folgenden Rohstoffpreisen je ME: 3,00 € für R1, 7,00 € für R2 und 4,00 € für R3?
c) Die Herstellung soll auf das Mengenverhältnis B1:B2:B3= 4:3:5 umgestellt werden. Wie viel ME
der Bauteile kann man maximal herstellen wenn von R1 je Herstellungszeitraum nur 10500 ME
zur Verfügung stehen?
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Skript Mathematik BOS II
8. Berechnen Sie folgende Matrizenmultiplikation A⋅
B mit Hilfe von Excel.
⎛ 4 −2 3⎞ ⎛1 0 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = 1 4 2 B = 0 2 −3
⎜ 3 2 1⎟ ⎜6 −6 2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Format der Ergebnismatrix
markieren. Im Beispiel 3x3
Matrix markieren.
Formel: MMULT(B1:D3 ; G1:I3)
Wichtig: Mann muss nach der Formeleingabe nicht ENTER drücken sondern
STRG+Umschalt+ENTER.
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Skript Mathematik BOS II
2. Lineare Verflechtungen
2.1 Mehrstufige Produktionsprozesse
Produktionsprozesse in der Industrie bestehen normalerweise aus mehreren Verarbeitungsstufen. Aus
Rohstoffen (Einzelteilen) werden zunächst Zwischenprodukte (Baugruppen) hergestellt, die dann in weiteren
Produktionsstufen zu anderen Zwischenprodukten (komplexeren Baugruppen) und schließlich zu
Endprodukten verarbeitet werden.
Man nennt diese mehrstufigen Produktionsprozesse auch Materialverflechtungsprozesse.
Häufig stellt man diese Produktionsprozesse in Grafiken dar, die Gozintographen genannt werden.
Beispiel 1:
Ein Betrieb stellt in zwei Produktionsstufen aus vier Einzelteilen drei Zwischenerzeugnisse und aus den
Zwischenerzeugnissen zwei Fertigerzeugnisse.
Gozintograph
E1 E2 E3 E4
1
2
4 1
3
2
1 2
3
Z1 Z2 Z3
1
1
2 1
1
3
F1
F2
Als Tabelle dargestellt:
WERK I
WERK II
Einzelteile
Einzelteile je Zwischenerzeugnisse
Zwischenerzeugnisse
F1 F2
Zwischenerzeug. je Fertigteile
Z1 Z2 Z3
E1 3 1 2 Z1 1 1
E2 2 0 3 Z2 2 1
E3 0 4 1 Z3 1 3
E4 1 2 0
a) Wie viel ME der Einzelteile werden jeweils für 1 ME der Fertigerzeugnisse benötigt?
EZ ⋅ ZF =
EF
⎛ 3 1 2⎞ ⎛ 7 10⎞
⎜ ⎟ ⎛1 1⎞
⎜ ⎟
⎜
2 0 3
⎟
5 11
⋅
⎜
2 1
⎟
= ⎜ ⎟
⎜ 0 4 1⎟ ⎜ 9 7 ⎟
⎜1 3⎟
⎜ 1 2 0⎟ ⎝ ⎠
⎜ 5 3 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
F1 F2
E1 ⎛ 7 10⎞
⎜ ⎟
E2 ⎜
5 11
⎟
E3⎜
9 7 ⎟
E4⎜
5 3 ⎟
⎝ ⎠
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Skript Mathematik BOS II
b) Wie viele ME der Einzelteile sind zur Herstellung von 60 ME von F1 und 80 ME von F2 erforderlich?
EF ⋅ FA =
EA
⎛ 7 10⎞ ⎛1220⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
5 11
⎟ ⎛ 60⎞
1180
⋅ = ⎜ ⎟
⎜ 9 7 ⎟
⎜ ⎟
⎝80⎠
⎜1100⎟
⎜ 5 3
⎟ ⎜
540
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A = Anzahl
c) Der Transport der Zwischenerzeugnisse von Werk I nach Werk II verursacht folgende Transportkosten:
Z1 Z2 Z3
Euro / ME 0,50 0,60 0,40
Berechnen Sie die Transportkosten der Zwischenerzeugnisse, die zur Herstellung von 60 ME von F1 und
80 ME von F2 benötigt werden.
ZF ⋅ FA =
ZA
⎛ 1 1⎞ ⎛140
⎞
⎜ ⎟ ⎛60⎞
⎜ ⎟
2 1 ⋅ ⎜ = 200
80
⎟
⎜ 1 3⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 300 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛140
⎞
⎜ ⎟
KZ ⋅ ZA = KA ( 0,50 0,60 0,40) ⋅ 200 = ( 310)
⎜300⎟
⎝ ⎠
Die Transportkosten betragen 310,-€.
K = Kosten
d) Es sollen 200 ME von F1 und 250 ME von F2 und außerdem für den Verkauf von Zwischenerzeugnissen
50 ME von Z1, 80 ME von Z2 und 40 ME von Z3 hergestellt werden. Wie viele ME der Einzelteile sind
hierfür erforderlich?
EF ⋅ FA =
EZ ⋅ ZA =
EA
EA
EA1 + EA2
= EA
Gesamt
1
2
⎛ 7 10⎞ ⎛3900⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
5 11
⎟ ⎛ 200⎞
3750
⋅ = ⎜ ⎟
⎜ 9 7 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 250⎠
⎜3550⎟
⎜ 5 3
⎟ ⎜
1750
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 3 1 2⎞ ⎛310⎞
⎜ ⎟ ⎛50⎞
⎜ ⎟
⎜
2 0 3
⎟
220
⋅
⎜
80
⎟
= ⎜ ⎟
⎜ 0 4 1⎟ ⎜360⎟
⎜ 40⎟
⎜ 1 2 0
⎟ ⎝ ⎠ ⎜
210
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛3900⎞ ⎛310⎞ ⎛ 4210⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
3750
⎟
220 3970
+ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎜3550⎟ ⎜360⎟ ⎜3910⎟
⎜ 1750 ⎟ ⎜ 210⎟ ⎜1960
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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Skript Mathematik BOS II
Beispiel 2:
Ein Betrieb stellt in 2 Produktionsstufen drei Fertigerzeugnisse her.
Abteilung I
Abteilung II
Rohstoffe
Rohstoffe je Zwischenerzeugnisse
Zwischenerzeugnisse
F1 F2 F3
Zwischenerzeugnisse je Fertigteil
Z1 Z2 Z3
R1 2 3 2 Z1 4 0 2
R2 3 2 4 Z2 3 3 0
R3 1 4 0 Z3 0 2 3
R4 2 0 3
a) Die Wochenproduktion beträgt 600 ME von F1, 500 ME von F2 und 700 ME von F3. Nachstehende
Tabelle enthält die Rohstoffkosten je ME, die variablen Stückkosten der Zwischenerzeugnisse und die
variablen Stückkosten der Fertigerzeugnisse.
R1 R2 R3 R4 Z1 Z2 Z3 F1 F2 F3
Euro / ME 1,00 1,50 0,50 1,00 7,00 4,00 5,00 36,00 27,00 30,00
Die fixen Kosten betragen 54.000,- €.
Berechnen Sie die Gesamtkosten der Wochenproduktion.
b) Die Verkaufspreise je ME betragen 180,-€ für F1, 135,-€ für F2 und 153,-€ für F3.
Wie hoch ist der Gewinn bei Absatz der Wochenproduktion?
c) Die Verkaufspreise stehen im Verhältnis F1 : F2 : F3 = 1 : 0,75 : 0,85. Wie viel Euro müssten die
Verkaufspreise mindestens betragen, damit der Betrieb bei den bisherigen Wochenproduktionsmengen
keinen Verlust erleidet?
Wie hoch sollten die Verkaufspreise sein, wenn ein Gewinn von 10% der Selbstkosten erzielt werden
soll? Das Verhältnis der Verkaufspreise bleibt jeweils unverändert.
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Skript Mathematik BOS II
3. Lineare Gleichungssysteme
3.1 Darstellung von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen
Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten kann man folgendermaßen schreiben:
a ⋅ x + a ⋅ x + a ⋅ x = b
11 1 12 2 13 3 1
a ⋅ x + a ⋅ x + a ⋅ x = b
21 1 22 2 13 3 2
a ⋅ x + a ⋅ x + a ⋅ x = b
31 1 32 2 33 3 3
Mit Hilfe von Matrizen erhält man folgende Darstellung:
A ⋅ x = b
⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
a a a ⋅ x = b
21 22 23 2 2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ a31 a32 a33 ⎠ ⎝ x3 ⎠ ⎝ b3
⎠
A ist die Koeffizientenmatrix, x der Spaltenvektor der Unbekannten und
Werten der rechten Seite des Gleichungssystems.
b der Spaltenvektor mit den
Beispiel:
4⋅ x − 4⋅ x + 3⋅ x = 22
1 2 3
2⋅ x − 3⋅ x + 4⋅ x = 19
1 2 3
−6⋅ x − x + 5⋅ x = 7
1 2 3
⎛ 4 −4 3⎞ ⎛ x1
⎞ ⎛ 22⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⇒ 2 −3 4 ⋅ x = 19
2
⎜ −6 −1 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜
3
7 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎠
3.2 Determinanten
Eine Determinanten kann nur von einer quadratischen Matrix berechnet werden und ist im Ergebnis eine
reelle Zahl.
Schreibweisen
D = det A = A = a
ik
Zweireihige Determinanten
Bei einer 2x2-Matrix berechnet sich der Wert der Determinante aus dem Produkt der Elemente der
Hauptdiagonalen minus dem Produkt der Elemente der Nebendiagonale.
A
⎛ a
⎞
11 12
= ⎜ ⎟
a21 a22
⎝
a
a
⎠
a
11 12
det A = = a11 ⋅ a22 − a21 ⋅ a12
a21 a22
Nebendiagonale
Hauptdiagonal
e
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Skript Mathematik BOS II
Beispiel:
Übungen:
4 7
det A = = 4⋅8 − ( −3)
⋅ 7 = 53
−3 8
1.
det
4 7
= =
−3 8
A 2.
7 −5
det A = =
5 −7
Dreireihige Determinanten
Bei einer 3x3-Matrix erfolgt die Berechnung der Determinante an der Regel von Sarrus. Hierbei wird die
Matrix um die beiden ersten Spalten erweitert. Auf diese Weise erhält man 3 Hauptdiagonalen und drei
Nebendiagonalen. Die Differenz aus Haupt- und Nebendiagonalen ergibt den Wert der Determinante.
a a a
11 12 13
⎛ a a a
A a a a
⎜
⎝ a a a
11 12 13
⎜
⎟
= ⎜ 21 22 23 ⎟
31 32 33
⎞
⎟
⎠
( )
det A = a a a = a ⋅a ⋅ a + a ⋅a ⋅ a + a ⋅a ⋅a − a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a + a ⋅ a ⋅ a
21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12
a a a
31 32 33
a a a a a
11 12 13 11 12
det A = a a a a a
21 22 23 21 22
a a a a a
31 32 33 31 32
Nebendiagonale
Hauptdiagonale
Beispiel:
Übungen:
−2 0 1 −2 0
( )
det A = 1 2 3 1 2 = − 2⋅ 2 ⋅( − 1) + 0⋅3⋅ 3+ 1⋅1⋅4 − 3⋅2⋅ 1+ 4⋅3 ⋅( − 2) + ( −1) ⋅1⋅0
3 4 −1 3 4
= − 4 + 0 + 4 − ( 6 − 24 + 0) = 0 − ( − 18)
= 18
1.
3 −4 0
det = 0 7 6 =
A 2.
2 −6 1
1 −2 −3
det A = 2 4 6 =
3 2 3
Hinweis:
Überprüfen Sie Ihre
Ergebnisse mit Excel.
=MDET(Matrix)
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Skript Mathematik BOS II
3.3 Lösen von linearen Gleichungssystemen mit der Cramer’schen Regel
D
j
x
j
= j = 1, 2,..., n
D
( )
D
j
ist hierbei die Determinante der Matrix A, die entsteht, wenn in der j-ten Spalte von A die Elemente
durch die rechte Seite b
i
ersetzt werden.
Beispiel:
4⋅ x − 4⋅ x + 3⋅ x = 22
1 2 3
2⋅ x − 3⋅ x + 4⋅ x = 19
1 2 3
−6⋅ x − x + 5⋅ x = 7
1 2 3
⎛ 4 −4 3⎞ ⎛ 22⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A = 2 − 3 4 b =
19
⎜ −6 −1 5⎟ ⎜ 7 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4 −4 3 4 −4
( )
D = det A = 2 −3 4 2 − 3 = − 60 + 96 − 6 − 54 −16 − 40 = 32
1 1
−6 −1 5 −6 −1
22
−4 3 22 −4
( )
D = det A = 19 −3 4 19 − 3 = −330 −112 − 57 − −63 −88 − 380 = 32
D
2 2
7
−1 5 7 −1
4 22 3 4 22
( )
= det A = 2 19 4 2 19 = 380 − 528 + 42 − − 342 + 112 + 220 = − 96
3 3
−6 7 5 −6 7
4 −4 22 4 −4
( )
D = det A = 2 −3 19 2 − 3 = − 84 + 456 − 44 − 396 − 76 − 56 = 64
−6 −1 7 −6
−1
a
ij
,
x
D
D
32 1
32
= 1
= =
1
x
D
D
−96
32
2
2
= = = −
3
x
D
D
64
32
= 3
= =
3
2
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟
x = −3
⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
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Skript Mathematik BOS II
Übungen:
1. Aus den drei Rohstoffen R1, R2 und R3 werden die drei Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 und daraus
wiederum drei Endprodukte E1, E2 und E3 hergestellt. Die zur Herstellung je einer Einheit benötigten
Mengeneinheiten sind in folgenden Tabellen dargestellt.
Von den Rohstoffen stehen 130 ME von R1, 88 ME von R2 und 122 ME von R3 zur Verfügung. Wie viele
Einheiten von den Endprodukten können damit hergestellt werden?
Rohstoffe
Rohstoffe je Zwischenprodukt
Zwischenprodukte
E1 E2 E3
Zwischenprodukte je Endprodukt
Z1 Z2 Z3
R1 1 2 1 Z1 1 2 2
R2 1 0 2 Z2 1 1 4
R3 2 1 1 Z3 2 2 1
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Skript Mathematik BOS II
3.4 Inverse Matrix und Gauß-Algorithmus
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