Matheskript-BOS-2 Lernbaustein 5 Loesungen.pdf - von P ...

BBS Gerolstein
Vorbereitungskurs Mathematik
Mathematik
für die
Berufsoberschule II
Lösungen
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Erstellt von: Herrn StD Percy Merkelbach
Stand: 30.09.2008
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Vorbereitungskurs Mathematik BOS II
Inhaltsverzeichnis
Lernbaustein 5 ................................................................................................................................3
1. Ableitungen nichtrationaler Funktionen ................................................................................3
1.1 Die Umkehrregel ..........................................................................................................3
1.2 Ableitung trigonometrischer Funktionen .......................................................................3
1.3 Ableitung der Exponentialfunktion ................................................................................5
1.4 Ableitung der Logarithmusfunktion ...............................................................................5
2. Kurvendiskussion nichtrationaler Funktionen .......................................................................6
2.1 Exponentialfunktionen..................................................................................................6
2.2 Logarithmenfunktionen...............................................................................................12
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Vorbereitungskurs Mathematik BOS II
Lernbaustein 5
1. Ableitungen nichtrationaler Funktionen
1.1 Die Umkehrregel
Bilden Sie die erste Ableitung mit Hilfe der Umkehrregel:
a)
b)
c)
d)
3
f ( x) = x + 1 x > −1 ⇒ f ′( x)
=
f x = x + x > − ⇒ f ′ x =
7
( ) 3 3 1 ( )
3
4
f ( x) = 4 x x > 0 ⇒ f ′( x)
=
3⋅
x
f ( t) = 2t + 1 t > − ⇒ f ′( t)
=
4 1
2
1
( x )
3
2
3⋅ + 1
3 2
3
( x )
7
6
7 ⋅ 3 + 3
1
( t )
3
4
2 ⋅ 2 + 1
1.2 Ableitung trigonometrischer Funktionen
Bilden Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
( )
3 2
a) f ( x) = 2x ⋅ cos(3 x) ⇒ f ′( x) = 6x cos ( 3x) − x ⋅ sin ( 3x)
b) f ( x) = sin( 1 1 ( 1
2
x) + 2cos( −x) ⇒ f ′( x) =
2
cos
2
x) + 2 ⋅sin
( − x)
c) f ( x) = 3sin ( 1 x + 4 ) ⇒ f ′( x) = cos( 1 x + 4)
d)
e)
f)
g)
3 3
f ( x) = 2cos( x) + 4 tan( x) ⇒ f ′( x) = − 2sin( x)
+
sin( x) 1
f ( x) = ⇒ f ′( x)
=
1+ cos( x) 1+
cos( x)
( x ) ( x x ) ( x )
( 1−
sin( x)
)
( 1−
sin( x)
)
4
2
cos ( x)
2x + cot( x) ⎛ cos( x) ⎞
′
1
f ( x) = ⇒ NR : ( cot( x)
)′
= ⎜ ⎟ = −
− x ⎝ x ⎠ x
2
1 sin( ) sin( ) sin ( )
⎛ −1
⎞
⎜ 2 + 1 sin( ) 2 cot( ) cos( )
2
sin ( x)
⎟⋅ − − + ⋅ −
f ′( x)
=
⎝ ⎠
1 1
2 − 2sin( x) − + + 2x cos( x) + cot( x) ⋅cos( x)
2
sin ( x) sin( x)
f ′( x)
=
−x ⋅ sin( x) + cos( x)
f ( x) = x ⋅ cos( x) ⇒ f ′( x)
=
2 ⋅ x ⋅ cos( x)
2
2
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h)
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1
f ( x) = tan 1 − x ⇒ f ′( x)
= −
2 ⋅ cos 1− ⋅ 1−
x
( ( x )) 2
2
i) ′ ( ) ( ) 2
f ( x) = − 2sin(3x + 4) ⇒ f ( x) = −12 ⋅ 3x + 1 ⋅ cos 3x
+ 4
j) f x x 2 x f ′ x x ( x
2
)
k)
( ) = −3cos(4 − ) + 2 ⇒ ( ) = −6 ⋅ sin 4 − + 2
f ( x) = sin( x) ⋅ tan( x) ⇒ f ′( x) = sin( x)
+
sin( x)
2
cos ( x)
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Bilden Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
a)
2
2x
f ( x) = arccos x ∈ R ] −2;2 [ ⇒ f ′( x)
=
x
2 2
x ⋅ x − 4
3⋅
x
f ( x) = arcsin x x ∈ 0;1 ⇒ f ′( x)
=
3
2 ⋅ 1−
x
5
f ( x) = arctan(5 x) x ∈ R ⇒ f ′( x)
=
2
1 + 25x
2
x −1 4x 4x 2 ⋅sgn( x)
f ( x) = arcsin ⇒ f ′( x)
= = =
2 2 2 2
2
x + 1 2
( x −1)
4x
⋅ ( x + 1)
x + 1
2
2
1− ⋅
2 ( x + 1)
2
x + 1
3
b) [ ]
c)
d)
1.3 Ableitung der Exponentialfunktion
1.4 Ableitung der Logarithmusfunktion
( )
Bilden Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen:
a) ( ) x
x
f x = x ⋅ e ⇒ f ′( x) = e ⋅ ( x + 1)
b) ( ) x
x
f x = e ⋅ sin( x) ⇒ f ′( x) = e ⋅ ( cos( x) + sin( x)
)
c)
d)
x
1−
e
2e
f ( x) = ⇒ f ′( x)
= −
x
1+ e
1+
x
x
( e ) 2
( 2 cos( ) sin( ))
2x 2x
e ⋅ ⋅ x + x
e
f ( x) = ⇒ f ′( x)
=
2
cos( x) cos ( )
x
x
e
e) f ( x) = e ⇒ f ′( x)
=
2 ⋅ x
−
( ) ( 1) x
− x
f x = x − ⋅ e ⇒ f ′( x) = e ⋅ − x + 2
f) ( )
g)
h)
f ( x) = ln x ⇒ f ′( x)
=
x
2
−2x
f ( x) = ln(1 − x ) ⇒ f ′( x)
=
1 − x
4 4
2
x
i)
j)
1+
x
2
f ( x) = ln ⇒ f ′( x)
=
1−
x
1−
x
ln x
1−
ln x
f ( x) = ⇒ f ′( x)
=
2
x
x
2
k) f ( x) = x ⋅ ln x ⇒ f ′( x) = ln x + 1
l)
m)
e x ⋅ ln x ⋅ e − e
f ( x) = ⇒ f ′( x)
=
ln x x ⋅ x
x x x
( ln ) 2
2 2
x
x
f ( x) = 5 ⇒ f ′( x) = 2x
⋅5 ⋅ ln 5
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n)
o)
4
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3x
3x
f ( x) = 2 ⇒ f ′( x) = 3⋅ 2 ⋅ ln 2
1
f ( x) = log x ⇒ f ′( x)
= x ⋅ ln 4
1
f ( x) = − log x ⇒ f ′( x)
= − x ⋅ ln 3
p)
3
2. Kurvendiskussion nichtrationaler Funktionen
2.1 Exponentialfunktionen
1) Untersuchen Sie die Funktion:
2
f ( x)
= x ⋅ e − x
a) Definitionsbereich
D
f
= R
b) Symmetrie
f ( x) = f ( −x)
( )
2 − x
2 −( − x)
x ⋅ e = −x ⋅e
2 − x 2 x
x ⋅ e = x ⋅e ⇒ keine Achsensymmetrie
f ( x) = − f ( −x)
( )
2 − x
2 −( − x)
x ⋅ e = − −x ⋅e
⋅ = − ⋅ ⇒
c) Achsenschnittpunkte
f ( x) = 0
2 −x
x ⋅ e = 0
ւ ց
2 − x 2 x
x e x e keine Punktsymmetrie
x
2
− x
= 0 ∨ e = 0 | ln
x = 0 n. d.
doppelte Nullstelle bei N
1
( 0 / 0)
f e S
2 −0
(0) = 0 ⋅ = 0⋅ 1 = 0 ⇒
y
(0 / 0)
d) Verhalten im Unendlichen
x
2
2 − x
lim x ⋅ e = lim
x→∞
x→∞
x
= ⇒ unbestimmter Ausdruck
e
∞
∞
∞ 0
Regel von L’Hospital: Kommt bei einer Grenzwertbetrachtung ein unbestimmter Ausdruck wie oder
∞ 0
heraus, so kann man die erste Ableitung des Zählers und des Nenners bilden und nochmals den Grenzwert
berechnen. Kommt wieder ein unbestimmter Ausdruck heraus, kann man den Zähler und den Nenner wieder
0 ∞
0
ableiten usw. Unbestimmte Ausdrücke wie 0 ⋅∞, ∞ − ∞, 0 , 1 und ∞ lassen sich so umformen, dass man die
Regel von L’Hospital anwenden kann.
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2x
∞
= lim = ⇒
x→∞
x
e ∞
2 2
= lim = = 0
x→∞
x
e ∞
unbestimmter Ausdruck
( )
2 x
2 ( )
lim x ⋅ e − = lim −∞ ⋅ e − −∞
= ∞ ⋅∞ = ∞
x→−∞
x→∞
e) Extremstellen
2
( )
− x
f ′( x) = e ⋅ 2x − x
2
( )
( )
( )
( 0 / 0) H ( 2 / 0,5413)
2
( )
− x
f ′( x) = 0 ⇒ e ⋅ 2x − x = 0
− x
f ′′( x) = e ⋅ x − 4x
+ 2
−0 2
(
E1) 0 4 0 2 2 0
2 −0
(
E1) = 0 ⋅ e = 0
2 −2
E 2 2
n. d. x = 0 x = 2
E1 E 2
−2 2
2
f ′′( xE
2
) = e ⋅ 2 − 4⋅ 2 + 2 = −
2
e
< 0 ⇒ Hochpunkt
f x
f ( x ) = 2 ⋅ e
4
=
e
T
↓ ∨ ↓
−x
2
e 0 2x x 0
= ∨ − =
f ′′ x = e ⋅ − ⋅ + = > ⇒ Tiefpunkt
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f) Wendestellen
2
( )
− x 2
( )
− x
f ′′( x) = e ⋅ x − 4x
+ 2
f ′′( x) = 0 ⇒ e ⋅ x − 4x
+ 2 = 0
↓ ∨ ↓
−x
2
e 0 x 4x
2 0
= ∨ − + =
n. d. x = 2 − 2 ; x = 2 + 2
W 1 W 2
2
( )
( 2−
2
2
) ⎛
⎜ ( ) ( )
− x
f ′′′ ( x) = e ⋅ − x + 6x
− 6
−
f ′′′ ( xW
1) = e ⋅ − 2 − 2 + 6⋅ 2 − 2 − 6
⎞
⎟ = ??? ≠ 0 ⇒ Wendepunkt
⎝
⎠
( 2 2
2
) ⎛
⎜ ( ) ( )
− +
f ′′′ ( xW
2) = e ⋅ − 2 + 2 + 6⋅ 2 + 2 − 6
⎞
⎟ = ??? ≠ 0 ⇒ Wendepunkt
⎝
⎠
W1
W 2
2
( )
−( 2−
e
2 )
2
( )
− ( 2+
e
2 )
f ( x ) = 2 − 2 ⋅ = 0,1910
f ( x ) = 2 + 2 ⋅ = 0,3835
W
( 0,5858/ 0,1910 ) ; W ( 3,4142 / 0,3835)
1 2
g) Wertebereich
h) Graph der Funktion
f
{ R | 1}
W = y ∈ y ≥
6 y
5
4
3
2
1
-2
-1
N T
W
H
W
1 2 3 4 5 6
x
-1
-2
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2) a)
f(x)
in m
100 m
(x) in m
b)
f ′( x) = 0,0619475⋅ e − 0,0619475 ⋅e
0,024779⋅x
−0,024779⋅x
f ′ = ⋅e − ⋅ e =
0,024779⋅100 −0,024779⋅100
(100) 0,0619475 0,0619475 0,73298
tanα
= 0,73298 | tan
α =
−1
tan (0,73298)
α = 36,24°
−1
∆ y
0,73298 73,298
= 0,73298 = = = 73,3%
∆x
1 1
c)
1
2
1
2
0,024779⋅x
0,024779⋅x
−0,024779⋅x
( )
f ( x) = 2,5⋅ e + e = 15 | : 2,5
e
0,024779⋅x
−0,024779⋅x
e
Sustitution z = e
0,024779⋅x
0,024779⋅x
1
z + = 6 | ⋅ z
z
2
z + 1 = 6z
z
− 6z
= −1
z = 3− 8 = 0,17157
z
= 3+ 8 = 5,8284
Rücksubtitution
z
2
2
e
0,024779⋅x
+ e = 6
1
+ = 6
0,024779⋅x
e
= 0,17157 | ln
0,024779 ⋅ x ⋅ ln e = ln 0,17157
ln 0,17157
x1
= = −71,14
0,024779
z
e
= 5,8284 | ln
0,024779 ⋅ x ⋅ ln e = ln 5,8284
x
ln 5,8284
= = + 71,14
0,024779
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d)
f ′( x) = 0,2
1
2
0,024779⋅x
−0,024779⋅x
( e e )
0,061947 ⋅ − = 0,2 | : 0,061947
e
0,024779⋅x
−0,024779⋅x
e
0,024779⋅x
Sustitution z = e
− e = 3,228566
0,024779⋅x
1
− = 3,228566
0,024779⋅x
e
1
z − = 3,228566 | ⋅ z
z
2
z − 1 = 3,228566 ⋅ z
z
z = −0,284637
z
2
1
= 3,513203
Rücksubtitution
z
e
− 3, 228566 ⋅ z = + 1
0,024779⋅x
= −0,284637 | ln
0,024779 ⋅ x ⋅ ln e = ln− 0, 284637 ∉ R
z
2
e
0,024779⋅x
= 3,513203 | ln
0,024779 ⋅ x ⋅ ln e = ln 3,513203
ln 3,513203
x1
= = + 50,71
0,024779
3)
a) Nach dem linken Grafen ist nach etwa 18 Tagen die gesamte Population durchseucht. Auch nach 40
Tagen hält die Epidemie unvermindert an.
Auch nach dem mittleren Grafen hat die Epidemie nach etwa 18 Tagen ihre maximale Ausbreitung erreicht
und hält diesen Stand auch noch nach 40 Tagen. Sie betrifft aber nur etwas mehr als ein Drittel der
Population.
Auch nach dem rechten Grafen betrifft die maximale Durchseuchung etwas mehr als ein Drittel der
Population, ist aber schon nach 15 Tagen erreicht. Im Gegensatz zu den anderen Verläufen klingt sie aber
bis zum 30. Tag wieder völlig ab.
b)
c)
1500 1500
lim
= lim
t→∞
−0,5⋅t
1+ 50 ⋅e
t→∞
1
1+ 50⋅
0,5⋅t
e
1500 1500 1500
= = = = 1500
1 1+ 50 ⋅0 1
1+ 50⋅
0,5⋅∞
e
Für t gegen Unendlich konvergiert der Graph der Funktion gegen 1500.
Das bedeutet, dass der 1. Graph die Funktion darstellt.
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1500
n( t)
=
1 + 50 ⋅ e
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−0,5⋅t
(
−0,5⋅t
e )
−0,5⋅t
e −0,5⋅t
e
−0,5⋅t
( 1+ 50⋅ e )
−0,5⋅t
( 1+ 50⋅e
)
0⋅ 1+ 50⋅ −1500 ⋅50 ⋅ ⋅( −0,5) 37500⋅
n′ ( t)
= =
−0,5⋅0
37500⋅
e
n′ (0) = = 14,42
−0,5⋅0
( 1+ 50⋅e
)
2
2 2
D.h. zum Zeitpunkt t=0 werden 14,42 Mitglieder pro Tag infiziert.
n′ ( t)
=
n′′ ( t)
=
n′′ ( t)
=
n′′ ( t)
=
n′′ ( t)
=
n′′ ( t)
=
n′′ ( t)
=
37500 ⋅e
−0,5⋅t
−0,5⋅t
( 1+ 50⋅e
)
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
4
−0,5⋅t
( 1+ 50 ⋅e
)
−0,5⋅t −0,5⋅t −0,5⋅t −0,5⋅t
( −0,5) ⋅37500⋅ e ⋅ ( 1+ 50⋅e ) − 37500⋅e ⋅ 2⋅( −0,5)
⋅50⋅e
3
−0,5⋅t
( 1+ 50⋅e
)
−0,5⋅t −0,5⋅t −0,5⋅t −0,5⋅t
−18750 ⋅e ⋅ ( 1+ 50⋅ e ) + 18750⋅e ⋅100
⋅e
3
−0,5⋅t
( 1+ 50 ⋅e
)
2 2
−0,5⋅t −0,5⋅t −0,5⋅t
−18750 ⋅e −18750⋅50⋅ ( e ) + 18750 ⋅100⋅( e )
3
−0,5⋅t
( 1+ 50⋅e
)
2
−0,5⋅t
−0,5⋅t
−18750 ⋅ e + 18750 ⋅50
⋅( e )
3
−0,5⋅t
( 1+ 50 ⋅e
)
−0,5⋅t
−0,5⋅t
18750 ⋅e
( − 1+ 50⋅e
)
3
−0,5⋅t
( 1+ 50⋅e
)
−0,5⋅t
−0,5⋅t
18750 ⋅e
( − 1+ 50⋅e
)
3
−0,5⋅t
3
( e )
−0,5⋅t
( 1+ 50⋅e
)
−0,5⋅t −0,5⋅t −0,5⋅t
18750 ⋅e ( − 1+ 50⋅ e ) = 0 | :( 18750 ⋅e
)
−0,5 ⋅37500⋅ e ⋅ 1+ 50⋅e − 37500 ⋅e ⋅ 2⋅ 1+ 50⋅e ⋅ −0,5 ⋅50
⋅e
−0,5⋅t −0,5⋅t −0,5⋅t −0,5⋅t −0,5⋅t
n′′ ( t) = 0 ⇒ = 0 | ⋅ 1+ 50⋅
− + ⋅ e =
−0,5⋅t
1 50 0
e
−0,5⋅t
= 0,02 | ln
− 0,5⋅t
⋅ln e = ln 0,02
ln 0,02
t = − 0,5
t = 7,82
Die größte Ausbreitungsgeschwindigkeit liegt am Ende des 7. Tages.
−0,5⋅7,82
37500 ⋅e
n′ (7,82) = = 187,5
2
−0,5⋅7,82
1+ 50⋅e
( )
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit beträgt 187,5 Mitglieder pro Tag.
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d)
1
1+ 50⋅e
1500
n( t) = = 1500⋅
0,6
−0,5⋅t
1+ 50⋅e
−0,5⋅t
= 0,6
−0,5⋅t
( e )
1 = 0,6 ⋅ 1+ 50⋅
1
1 = 0,6 + 30
e
1−
0,6 1
=
0,5⋅t
30 e
0,5⋅t
e = 75 | ln
0,5⋅t
⋅ ln e = ln 75
ln 75
t =
0,5
t = 8,635
0,5⋅t
Nach 8,64 Tagen sind 60% der Mitglieder infiziert.
2.2 Logarithmenfunktionen
1) Untersuchen Sie die Funktion: f ( x) = x ⋅ ln x
a) Definitionsbereich
b) Symmetrie
c) Achsenschnittpunkte
f
{ R | 0}
D = x ∈ x >
Die Funktion ist unsymmetrisch, da der Definitionsbereich
ւ
f ( x) = 0
x ⋅ ln x = 0
x = 0 ∨ ln x = 0 | e
∉ D e = e
f
ց
Nullstelle bei N
ln x 0
x = 1
f (0) = 0⋅ln 0 ∉ D
d) Verhalten im Unendlichen
1
( 1/ 0)
lim x ⋅ ln x = ∞ ⋅∞ = ∞
x→∞
e) Verhalten an der Randstelle
f
*
R
+
.
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x→0
lim
x→0
1
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( )
lim x ⋅ ln x = 0⋅ −∞ ⇒ unbestimmter Ausdruck
ln x
−∞
= ⇒
∞
unbestimmterAusdruck
x
∞ 0
Regel von L’Hospital: Kommt bei einer Grenzwertbetrachtung ein unbestimmter Ausdruck wie oder
∞ 0
heraus, so kann man die erste Ableitung des Zählers und des Nenners bilden und nochmals den Grenzwert
berechnen. Kommt wieder ein unbestimmter Ausdruck heraus, kann man den Zähler und den Nenner wieder
0 ∞
0
ableiten usw. Unbestimmte Ausdrücke wie 0 ⋅∞, ∞ − ∞, 0 , 1 und ∞ lassen sich so umformen, dass man die
Regel von L’Hospital anwenden kann.
f) Extremstellen
1
2
1
lim
x −x
= lim ⋅ = lim − x = −0
x →0 1 x →0 x 1 x →0
−
2
x
f ′( x) = 1+
ln x
f ′( x) = 0 ⇒ ln x = −1 | e
e
ln x −1
x
E1
= e
1
=
e
1
f ′′( x)
=
x
1
f ′′( xE1) = = e
1
> 0 ⇒ Tiefpunkt
e
1 1 1 −1
1
f ( xE1) = ⋅ ln = ⋅ ln e = −
e e e e
g) Wendestellen
⎛ 1 1 ⎞
T ⎜ / oder T 0,3679 / 0,3679
e e
⎟
⎝ ⎠
( − )
1
f ′′( x)
=
x
f ′′( x) = 0 ⇒
1
= 0
x
1 = 0
es existieren keine Wendestellen
h) Wertebereich
i) Graph der Funktion
f
{ R | 0,3679}
W = y ∈ y ≥ −
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y
4
3
2
1
-2
-1
T
N
1 2 3 4
x
-1
-2
2) Untersuchen Sie die Funktion: f ( x) = ln ( x − 1)
a) Definitionsbereich
f
{ R | 1}
D = x ∈ x >
b) Symmetrie
Die Funktion ist unsymmetrisch, da x>1 sein muss.
c) Achsenschnittpunkte
f ( x) = 0
( x )
ln − 1 = 0 |
e
= e
ln( x−1) 0
x − 1 = 1
x = 2
e
Nullstelle bei N
( )
1
( 2 / 0)
f (0) = ln 0 −1
∉ D
d) Verhalten im Unendlichen
( x ) ( )
lim ln − 1 = ln ∞ − 1 = ln ∞ = ∞
x→∞
e) Verhalten an der Randstelle
x→1
( x ) ( )
f
lim ln − 1 = ln 1− 1 = ln 0 = −∞
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f) Extremstellen
1
f ′( x)
=
x − 1
f ′( x) = 0 ⇒
1
= 0
x −1
| ⋅( x −1)
1 = 0 es existieren keine Extremwerte
g) Wendestellen
f ′′( x)
=
−1
( x −1)
2
−1
f ′′( x) = 0 ⇒ = 0 | ⋅ x −1
( x −1)
2
( )
2
− 1 = 0 es existieren keine Wendestellen
h) Wertebereich
W
f
= R
i) Graph der Funktion
5
y
4
3
2
1
N
1 2 3 4 5 6
x
-1
-2
-3
-4
-5
v
K( v) = ln v − 1 + 8 v > 1
20
⎣ ⎦
3) Untersuchen Sie die Funktion: ⎡ ( ) ⎤
2
a) Definitionsbereich
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f
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{ R | 1}
D = v ∈ v >
b) Symmetrie
Die Funktion ist unsymmetrisch, da v>1 sein muss.
c) Achsenschnittpunkte
v
2
K( v) = ⎡ln ( v − 1)
⎤ + 8 = 0
20
⎣ ⎦
( v )
2
v ⋅ ⎡
⎣ln − 1 ⎤
⎦ = −160
Da v>0 sein muss, kann der Term nicht negativ werden!
ln v − 1 negativ werden sollte wird er durch das Quadrieren wieder positiv.
Selbst wenn ( )
Es existieren also keine Nullstellen!
d) Verhalten im Unendlichen
v
2 ∞
2 2 2
lim ⎡ln ( v 1) 8 ln ( 1) 8 ln ( ) 8 [ ] 8
x→∞
20
⎣ − ⎤
⎦ + = ⎡ ∞ − ⎤ + = ∞ ⋅ ⎡ ∞ ⎤ + = ∞ ⋅ ∞ + = ∞
20
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
e) Verhalten an der Randstelle
v
2 1 2 1 2 1 2
lim ⎡ln ( v 1) 8 ln ( 1 1) 8 ln ( 0) 8 [ ] 8
x→1
20
⎣ − ⎤
⎦ + = ⎡ − ⎤ + = ⎡ ⎤ + = −∞ + = ∞
20
⎣ ⎦
20
⎣ ⎦
20
f) Extremstellen
v
2
K( v) = ⎡ln ( 1)
8
20
⎣ v − ⎤
⎦ +
1 2 v
1
K′ ( v) = ⎡ln ( v 1) 2 ln ( v 1)
20 ⎣ − ⎤
⎦ + ⋅ ⋅ −
20 v −1
K′ ( v)
=
2
( v −1) ⋅ ⎡
⎣ln ( v − 1) ⎤
⎦ + 2⋅v ⋅ln ( v −1)
20 ⋅( v −1)
2
( v −1) ⋅ ⎡
⎣ln ( v − 1) ⎤
⎦ + 2⋅v ⋅ln ( v −1)
20⋅( v −1)
K′ ( v) = 0 ⇒ = 0 | ⋅ 20 ⋅( v −1)
2
( v ) ⎡
⎣ ( v ) ⎤
⎦ v ( v )
( v ) ( v ) ( v ) v
−1 ⋅ ln − 1 + 2⋅ ⋅ln − 1 = 0
( )
ln −1 ⋅ −1 ⋅ln − 1 + 2⋅ = 0
ւ
ln( v − 1) = 0 ∨
ց
( ) ( )
v −1 ⋅ln v − 1 + 2⋅ v = 0
ln( v−1) 0
e = e führt zu keiner weiteren Lösung
v − 1 = 1
v = 2
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K′ ( v)
=
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2
( v −1) ⋅ ⎡
⎣ln ( v − 1) ⎤
⎦ + 2⋅v ⋅ln ( v −1)
20 ⋅( v −1)
⎡
2 1 ⎛ 1 ⎞⎤
2
ln ( v 1) ( v 1) 2 ln ( v 1) 2 ln ( v 1) v 20 ( v 1) ⎡( v 1) ln ( v 1) 2 v ln ( v 1)
⎤
⎢⎣ ⎡ − ⎦
⎤ + − ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − − − ⋅ ⎡ − ⎤ + ⋅ ⋅ − ⋅ 20
v −1 ⎜
v 1
⎟⎥
⎣ ⎦
⎝
− ⎠
⎢⎣
⎥⎦
K′′ ( v)
=
⎣
⎦
2
2
20 ⋅ 1
( v − )
⎡
2
⎛
1 ⎞⎤
2
⎢⎡
⎣ln ( v − 1) ⎤
⎦ + 2⋅ln ( v − 1) + 2⋅⎜ln ( v − 1)
+ v ⋅ ⋅ v −
v 1
⎟⎥
( 1) − ⎡( v −1) ⋅ ⎡ln ( v − 1) ⎤ + 2⋅v ⋅ln ( v −1)
⎤
⎝
− ⎠
K′′ ( v)
=
⎣
⎦
⎢⎣
⎣ ⎦
⎥⎦
2
20⋅
v −1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
v −1 ⋅ ⎡ln v − 1 ⎤ + v −1 ⋅ 2⋅ln v − 1 + 2⋅ v −1 ⋅ln v − 1 + v − v −1 ⋅ ⎡ln v − 1 ⎤ + 2⋅v ⋅ln v −1
⎢ ⎣ ⎦ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦
⎥
K′′ ( v)
=
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
20⋅
1
K′′ ( v)
=
K′′ ( v)
=
K′′ ( v)
=
K′′ ( v)
=
K′′ ( v)
=
( v − )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
20 ⋅( v −1)
4⋅( v −1) ⋅ln ( v − 1) + 2⋅v − 2⋅v ⋅ln ( v −1)
2
20 ⋅( v −1)
4⋅v ⋅ln ( v −1) − 4⋅ln ( v − 1) + 2⋅v − 2⋅v ⋅ln ( v −1)
2
20 ⋅( v −1)
2⋅v ⋅ln ( v −1) − 4⋅ln ( v − 1)
+ 2⋅v
2
20⋅( v −1)
v ⋅ln ( v −1) − 2⋅ln ( v − 1)
+ v
2
10 ⋅( v −1)
2 2
( )
v −1 ⋅ ⎣
⎡ln v − 1 ⎦
⎤ + v −1 ⋅ 2⋅ln v − 1 + 2⋅ v −1 ⋅ln v − 1 + 2⋅v − v −1 ⋅ ⎣
⎡ln v −1 ⎦
⎤ − 2⋅v
⋅ln v −1
( ) ( )
10⋅( 2 −1) 2
2⋅ln 2 −1 − 2⋅ln 2 − 1 + 2 2⋅ln(1) − 2⋅ ln(1) + 2
K′′ (2) = = = 0, 2 > 0 ⇒
10
Tiefpunkt
2
2
K(2) = ⎡ln ( 2 − 1)
⎤ + 8 = 8
20
⎣ ⎦
T
( 2 / 8)
g) Wendestellen
Es existieren keine Wendestellen.
h) Wertebereich
K
{ ( ) R | ( ) 8}
W = K v ∈ K v ≥
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i) Graph der Funktion
K(v)
(l/100km) y
16
14
12
10
8
6
T(2/8)
4
2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
v (10km/h) x
b) Für Geschwindigkeiten knapp über 10 km/h ist der Kraftstoffverbrauch zunächst unendlich
hoch. Dieser Bereich erscheint für die Praxis unrealistisch. Bei steigender Geschwindigkeit
vermindert sich der Verbrauch aber sehr rasch und erreicht schon bei 20 km/h sein
Minimum mit 8 l/100km. Danach steigt der Kraftstoffverbrauch streng monoton und
progressiv. Er erreicht bei der Höchstgeschwindigkeit von 180 km/h sein Maximum mit
15,24 l/100km.
4) Untersuchen Sie die Funktion: h( p) = −7991⋅( ln p − ln1013)
a) Definitionsbereich
b) Symmetrie
c) Achsenschnittpunkte
d) Verhalten im Unendlichen
*
{ R | 0} R
Dh
= p ∈ p > =
+
Die Funktion ist unsymmetrisch, da p>0 sein muss.
( p )
( p )
h( p) = 0 ⇒ − 7991⋅ ln − ln1013 = 0
ln − ln1013 = 0
ln p = ln1013 | e
e
ln p
= e
ln1013
p = 1013
Das bedeutet bein der Höhe 0m (NN) beträgt der Luftdruck 1013mbar.
Es existiert kein Schnittpunkt mit der y-Achse!
( p ) ( )
lim = −7991⋅ ln − ln1013 = −7991⋅ ln ∞ − ln1013 = −7991⋅∞ = −∞
p→∞ www.p-merkelbach.de − 18 − © Merkelbach

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e) Verhalten an der Randstelle
f) Extremstellen
p→0
( p ) ( ) ( )
lim = −7991⋅ ln − ln1013 = −7991⋅ ln 0 − ln1013 = −7991⋅ −∞ = ∞
( p )
h( p) = −7991⋅ ln − ln1013
−7991
h′ ( p)
=
p
h′ ( p) = 0 ⇒
−7991
= 0
p
− 7991 = 0
es existieren keine Extremstellen
g) Wendestellen
−7991
h′ ( p)
=
p
7991
h′′ ( p)
=
2
p
h′′ ( p) = 0 ⇒
7991
= 0
2
p
7991 = 0
es existieren keine Wendestellen
h) Wertebereich
W
h
= R
i) Graph
y/10
3
35
30
25
20
15
10
5
-100
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
x
-5
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b) Ein gemessener Luftdruck nahe Null bedeutet eine unendlich große Höhe. Mit steigendem Luftdruck
nimmt die Höhe ständig ab. Die Abnahme ist degressiv, d.h. mit jeder zusätzlichen Einheit Luftdruck,
verringert sich die Höhe immer weniger. Bei einem Luftdruck von 1013mbar ist die Höhe Null erreicht. Ist
der gemessene Luftdruck noch höher, befindet man sich unter NN.
c) Die 1. Ableitung gibt an, wie sich die Höhe in Abhängigkeit vom Luftdruck verändert. Negative Werte
bedeuten, dass die Höhe abnimmt. Steigende Werte der 1.Ableitungsfunktion, dass die Änderungsrate
zunimmt.
y
60
20
-100
-20
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
x
-60
-100
-140
-180
-220
-260
d) h (500) = 5642,15
Bei 500 mbar gemessenem Luftdruck gilt eine Höhe von 5642,15 m.
(500) 15,982
h′ = −
Bei gemessenen 500mbar Luftdruck nimmt die Höhe um 15,982m/mbar ab.
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