Matheskript-BOS-2 Lernbaustein 5 Loesungen.pdf - von P ...

n)
o)
4
Vorbereitungskurs Mathematik BOS II
3x
3x
f ( x) = 2 ⇒ f ′( x) = 3⋅ 2 ⋅ ln 2
1
f ( x) = log x ⇒ f ′( x)
= x ⋅ ln 4
1
f ( x) = − log x ⇒ f ′( x)
= − x ⋅ ln 3
p)
3
2. Kurvendiskussion nichtrationaler Funktionen
2.1 Exponentialfunktionen
1) Untersuchen Sie die Funktion:
2
f ( x)
= x ⋅ e − x
a) Definitionsbereich
D
f
= R
b) Symmetrie
f ( x) = f ( −x)
( )
2 − x
2 −( − x)
x ⋅ e = −x ⋅e
2 − x 2 x
x ⋅ e = x ⋅e ⇒ keine Achsensymmetrie
f ( x) = − f ( −x)
( )
2 − x
2 −( − x)
x ⋅ e = − −x ⋅e
⋅ = − ⋅ ⇒
c) Achsenschnittpunkte
f ( x) = 0
2 −x
x ⋅ e = 0
ւ ց
2 − x 2 x
x e x e keine Punktsymmetrie
x
2
− x
= 0 ∨ e = 0 | ln
x = 0 n. d.
doppelte Nullstelle bei N
1
( 0 / 0)
f e S
2 −0
(0) = 0 ⋅ = 0⋅ 1 = 0 ⇒
y
(0 / 0)
d) Verhalten im Unendlichen
x
2
2 − x
lim x ⋅ e = lim
x→∞
x→∞
x
= ⇒ unbestimmter Ausdruck
e
∞
∞
∞ 0
Regel von L’Hospital: Kommt bei einer Grenzwertbetrachtung ein unbestimmter Ausdruck wie oder
∞ 0
heraus, so kann man die erste Ableitung des Zählers und des Nenners bilden und nochmals den Grenzwert
berechnen. Kommt wieder ein unbestimmter Ausdruck heraus, kann man den Zähler und den Nenner wieder
0 ∞
0
ableiten usw. Unbestimmte Ausdrücke wie 0 ⋅∞, ∞ − ∞, 0 , 1 und ∞ lassen sich so umformen, dass man die
Regel von L’Hospital anwenden kann.
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