WS 2013/2014 Blatt 5

Übungen zur Vorlesung „Theoretische Physik I (Höhere Mechanik,
Quantenmechanik Teil I)“
WS 2013/2014 Blatt 5
Aufgabe 17: Endliche Bahnen
Ein Massenpunkt m bewege sich in dem Kraftfeld
{
a(r − R) r für r ≤ R,
F(r) =
r
0 für r > R.
Untersuchen Sie, für welche Bahndrehimpulse L es Bahnen gibt, für die r(t) für alle Zeiten
t endlich ist, d.h. |r(t)| < ∞.
Hinweis: Betrachten Sie das effektive Potential V eff (r, L) für die Fälle L = 0 und L ≠ 0.
Aufgabe 18: Zykloidenpendel
Im homogenen Schwerefeld −ge z ist ein Pendel
so im Koordinatenursprung zwischen zwei Backen
aufgehängt, dass sich der Faden der Länge l =
4a bei großen Auslenkungen immer weiter an die
Backen anlegt. Die Form der Backen wird durch
die Parameterdarstellung x = a(φ − sin φ); z =
a(−1 + cos φ) beschrieben.
z
-2a
-4a
m
x
a) Zeigen Sie, dass die Bahnkurve der Pendelmasse duch x = a(φ + sin φ) und
z = a(−3 − cos φ) mit −π < φ < π gegeben ist.
b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für das Pendel auf und lösen Sie sie mit Hilfe der
Substitution u = sin(φ/2).
c) Christian Huygens hat 1673 ein solches Pendel für die Konstruktion von Pendeluhren
vorgeschlagen. Warum ist es hierfür besonders geeignet?
Aufgabe 19: Rotierender Schütze
a) Ein Massenpunkt m ruhe in einem Inertialsystem. Der Massenpunkt gleite andererseits
reibungsfrei auf einer mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden
Scheibe. Beschreiben Sie die Bewegung des Massenpunkts in einem mit der Scheibe
mitrotierenden und daher beschleunigten Bezugssystem als Folge der auf ihn wirkenden
Trägheitskräfte.

) Auf der rotierenden Plattform eines Karussells stehe
eine Schiessbude, an der ein Schütze auf ein in radialer
Richtung vor ihm stehendes Ziel im Abstand
a = r 2 − r 1 schiesst. Das Geschoss bewege sich reibungsfrei
mit konstanter Geschwindigkeit v 0 . Um
wieviel verfehlt der Schütze sein Ziel?
ω
a
r 1 r 2
Denksport IV
Flussschwimmer: Ein Schwimmer will einen Fluss der Breite B überqueren. Relativ
zum strömenden Wasser erreicht er die Geschwindigkeit v. Die Strömungsgeschwindigkeit
u sei über die ganze Breite des Flusses konstant.
a) Der Schwimmer will auf exakt geradem Wege die genau gegenüberliegende Stelle des
jenseitigen Flussufers erreichen. Unter welchem Winkel muss er gegen die Strömung
anschwimmen? Nach welcher Zeit hat er den Fluss überquert?
b) Der Schwimmer will möglichst schnell das jenseitige Ufer erreichen, ohne Rücksicht
auf etwaige Abdrift. Wie muss er sich verhalten? Wie lange braucht er für die
Überquerung? Wo kommt er an?
c) Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses falle nun vom Wert u in der Flussmitte
proportional zum Abstand zur Flussmitte nach beiden Seiten hin ab und habe den
Wert 0 an beiden Ufern. Beantworten Sie wieder die in a) gestellten Fragen.