Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

Institut für Physik
Universität Augsburg
Diplomarbeit
Der Berezinskiĭ-Kosterlitz-Thouless-Übergang
mit Unordnung
vorgelegt von
Thomas Lück
November 1997
Referent
Korreferent
: Prof. Dr. U. Eckern
: Prof. Dr. A. Kampf

2
Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit selbstständig verfaßt und keine anderen
als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt zu haben.
Augsburg, den 4. Februar 2002

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 5
1.1 Der BKT-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Unordnung in der statistischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Das XY-Modell mit zufälligen Phasenverschiebungen . . . . . . . 8
1.4 Aufbau dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Vorbereitende Überlegungen 11
2.1 Die Villain-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Der Grundzustand des Coulombgases mit externen Dipolen . . . . 16
2.3 Der Replikatrick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Kosterlitz-Renormierung des replizierten Systems 21
3.1 Reskalierung des Gitterabstands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Ausintegrieren kleiner Ladungspaare . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Umformulierung der RG-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Qualitative Diskussion des RG-Flusses . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Replika-Korrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Der Replika-Limes n → 0 31
4.1 Die Eintyp-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Berücksichtigung aller Ladungstypen (Näherung I) . . . . . . . . . 35
5 Die asymptotische Näherung 38
5.1 Herleitung der vereinfachten RG-Gleichungen (Näherung II) . . . 38
5.2 Eigenschaften des RG-Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Vergleich von Näherung I mit Näherung II 45
6.1 Berechnung der Entropiedichte in asymptotischer Näherung . . . 45
6.2 Numerische Untersuchung der Flußgleichungen in Näherung I . . . 49
7 Das kritische Verhalten einiger Größen 53
7.1 Divergenz der Korrelationslänge am BKT-Übergang . . . . . . . . 53
7.2 Physikalische Bedeutung der Replika-Korrelationsfunktionen . . . 57
7.3 Die Dielektrizitätskonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 INHALTSVERZEICHNIS
7.4 Kritische Exponenten im 2D XY-Modell . . . . . . . . . . . . . . 61
8 Die Monte-Carlo-Simulation 65
8.1 Der MC-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2 Ergebnisse der MC-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9 Zusammenfassung und Ausblick 72
Danksagung 74
Anhang 75
A Herleitung von Gleichung (2.22) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
B Die Summen aus den Gleichungen (3.29) und (3.30) . . . . . . . . 76
C Berechnung von (3.26-3.28) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
D Die Integrale aus den Gleichungen (4.22-4.24) . . . . . . . . . . . 78
E Positive Entropie für τ > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Kapitel 1
Einleitung
In dieser Arbeit werden wir den Berezinkiĭ-Kosterlitz-Thouless-Übergang in Anwesenheit
von Unordnung anhand eines zweidimensionalen (2D) XY-Modells mit
zufälligen Phasenverschiebungen untersuchen. Wir beziehen uns dabei hauptsächlich
auf eine kürzlich erschienene Arbeit von Scheidl [1]. Dort wird die Unordnung
durch den Replikatrick behandelt. Scheidl gibt zum einen eine Phasengrenze an,
die kein ”
reentrance“-Verhalten aufweist, wie es von Rubinstein et al. [2] gefunden
wurde, und zum anderen begründet er die Korrektheit seiner Ergebnisse
damit, daß seine Renormierungsgleichungen immer eine positive Entropie liefern.
Er schließt deshalb die Relevanz von Replika-Symmetrie-Brechung für dieses System
aus. Wir verwenden hier die gleichen Methoden, allerdings können wir nicht
alle Resultate Scheidls bestätigen: Durch numerische Untersuchung der Renormierungsgleichungen
finden wir nämlich einen Bereich (kleine Temperaturen und
große Unordnungsstärken), in dem sie eine negative Entropie liefern.
Zudem erhalten wir aus Monte-Carlo-Simulationen eine Phasengrenze, die gut mit
der analytisch berechneten übereinstimmt. Leider konnte das System mit unserem
Algorithmus nicht bei sehr tiefen Temperaturen untersucht werden. Deshalb
können wir dadurch weder einer Aussage über das Auftreten von ”
reentrance“-
Verhalten machen, noch darüber, ob die Ergebnisse auch in diesem Bereich die
analytischen Vorhersagen bestätigen.
1.1 Der BKT-Übergang
Zuerst werden wir sehr kurz die wichtigsten Eigenschaften des Berezinskiĭ-Kosterlitz-Thouless(BKT)-Übergangs
[3–7] 1 wiederholen. Da im folgenden das 2D XY-
Modell verwendet wird, werden wir dessen kritisches Verhalten kurz diskutieren.
1 Ausführliche Übersichtsartikel dazu stammen von Niehnhuis [8], Minnhagen [9] und Nelson
[10]; außerdem wird das Problem in einigen Lehrbüchern wie z.B. [11, 12] behandelt.

6 1 Einleitung
Das Modell wird definiert durch die folgende Hamiltonfunktion:
H XY [{Θ i }] = K ∑ 〈ij〉
[1 − cos (Θ i − Θ j )] . (1.1)
Diese Hamiltonfunktion beschreibt ein klassisches, ferromagnetisches (wir nehmen
K > 0 an) Heisenberg-Modell mit planaren Spins {s i = e iΘ i
} auf einem 2D
Gitter; die effektiven Freiheitsgrade {Θ i } geben die Richtung der Spins bezüglich
einer fest gewählten Achse an. Die Kopplungskonstante beinhaltet bereits die
Temperatur (K = J/T ), und die Wechselwirkung beschränkt sich auf nächste
Nachbarn; deshalb beinhaltet die Summe ∑ 〈ij〉
jedes Nächste-Nachbar-Paar genau
einmal. Die Bedeutung des 2D XY-Modells geht über die Beschreibung von
magnetischen Systemen hinaus, da es möglich ist, eine Vielzahl anderer physikalischer
Systeme wie z.B. 2D Heliumfilme oder Netzwerke von Josephson-Kontakten
auf dieses Modell abzubilden.
Der Grundzustand des 2D XY-Modells ist ferromagnetisch. Da die Hamiltonfunktion
(1.1) allerdings eine kontinuierliche Rotationssymmetrie (U(1)-Symmetrie)
aufweist, gilt das Mermin-Wagner-Hohenberg-Theorem [13, 14], das eine langreichweitige
Ordnung für alle positiven Temperaturen ausschließt. Anschaulich
läßt sich dies durch die Anwesenheit von Spinwellen erklären, die bei ausreichend
tiefen Temperaturen zu einem algebraischen (im Gegensatz zu einem exponentiellen)
Zerfall der Spin-Spin-Korrelationsfunktion führen. Man spricht deshalb
auch von quasi-langreichweitiger Ordnung.
Aufgrund der Periodizität der Spin-Spin-Wechselwirkung in (1.1) gibt es neben
den Spinwellen noch zusätzliche, topologische Anregungen, sogenannte Vortizes“.
In der Villain-Näherung [15, 16] entkoppeln Spinwellen- und Vortexanre-
”
gungen. Man erhält dann einen Spinwellenanteil der Zustandssumme, der analytisch
in T ist, und einen Vortexanteil, der für den BKT-Übergang verantwortlich
ist. Dieser Teil ist äquivalent zu einem neutralen 2D Coulombgas (CG): Bei tiefen
Temperaturen sind positive und negative Ladungen zu Dipolen gebunden
(BKT-Phase), bei hohen Temperaturen sind alle Ladungen frei (Plasma). Am
BKT-Übergang dissoziieren die großen Ladungspaare im System. Sobald dies
im XY-Modell geschieht, führen die Vortexanregungen zu einem exponentiellen
Zerfall der Spin-Spin-Korrelationsfunktion; solange sie gebunden sind, haben sie
keinen langreichweitigen Einfluß im System.
Ein wichtiger Schritt zum Verständnis dieses Problems war dabei die Renormierungsgruppen(RG)-Behandlung
durch Kosterlitz [6]. Dabei ist die grundlegende
Idee, das System schrittweise auf immer größeren Längenskalen zu betrachten
und die Abschirmung durch kleinere Ladungspaare in effektiven Kopplungskonstanten
zu berücksichtigen.

1.2 Unordnung in der statistischen Mechanik 7
1.2 Unordnung in der statistischen Mechanik
Die obigen Überlegungen galten für reine Systeme wie dem durch (1.1) definierten.
Wir diskutieren nun die formale Behandlung von Unordnung, die reine Systeme
in zufälliger Weise stört, in der statistischen Mechanik. Man unterscheidet
zwei Arten von Unordnung: Zum einen eingefrorene Unordnung ( ”
quenched disorder“),
deren Konfiguration sich unabhängig von den thermischen Freiheitsgraden
einstellt, und auf der anderen Seite ”
annealed disorder“, deren Konfiguration
selbst thermisch fluktuiert. Mathematisch bedeutet dies, daß es im zweiten Fall
ausreicht, die Zustandssumme über die Unordnung zu mitteln, um das Unordnungsmittel
physikalischer Größen zu berechnen, während man im eingefrorenen
Fall die freie Energie, also den Logarithmus der Zustandssumme, mitteln muß.
Dies stellt ein erheblich größeres Problem dar, das allerdings auf Kosten neuer
Schwierigkeiten durch den Replikatrick umgangen werden kann.
Eine solche Mittelung ist nur sinnvoll, wenn man annimmt, daß die physikalischen
Größen eines Systems mit Unordnung durch den Mittelwert gut beschrieben werden
und die Abhängigkeit von der speziellen Realisierung der Unordnungskonfiguration
schwach ist. Dies ist aufgrund folgender Überlegung in vielen Fällen
mit genügend kurzreichweitiger Korrelation erfüllt: Ein System im thermodynamischen
Limes kann in viele unkorrelierte, makroskopisch große Teilsysteme
unterteilt werden; in jedem dieser Teilsysteme ist das Verhalten durch eine andere
Unordnungskonfiguration bestimmt, und die Eigenschaften des Gesamtsystems
sind dann durch das Mittel über alle Teilsysteme gegeben. 2
Im folgenden betrachten wir den Einfluß eines bestimmten Typs von eingefrorener
Unordnung auf den BKT-Übergang: Wir führen zufällig verteilte Phasenverschiebungen
auf den Bindungen im XY-Modell ein.
Bei tiefen Temperaturen erwarten wir sehr starken Einfluß von Unordnung, da
hier keine thermischen Fluktuationen mehr auftreten, und die Freiheitsgrade aufgrund
der Wechselwirkung untereinander eigentlich einen geordneten Zustand bevorzugen;
durch die Unordnung wird dieser Zustand aber gestört. Eine interessante
Frage ist dann, ob schon durch eine schwache, angelegte Störung die geordnete
Phase zerstört wird oder weiterhin existiert. Wenn letzteres gilt, ist von Interesse,
ob (und wenn ja wie) sich die Eigenschaften des Übergangs ändern; wichtig ist,
ob sich die Universalitätsklasse oder nur nicht-universelle Eigenschaften wie die
Übergangstemperatur ändern.
Einen ersten Hinweis für die oben eingeführte Art der Unordnung erhält man
durch das Harris-Kriterium [11, 17]: Da im reinen 2D XY-Modell die Bedingung
2 − dν < 0 (d = 2 und ν ”
unendlich“) gilt, 3 ist es trotz (schwacher) Unordnung
möglich, daß der BKT-Übergang dadurch nur geringfügig verändert wird.
2 Dies entspricht der gewöhnlichen Ensemble-Idee in der statistischen Physik. Ein System
mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als ”
selbstmittelnd“.
3 ν ist der kritische Exponent, der die Divergenz der Korrelationslänge bei Annäherung an
den Übergang beschreibt.

8 1 Einleitung
1.3 Das XY-Modell mit zufälligen Phasenverschiebungen
In das XY-Modell kann in verschiedener Weise Unordnung eingeführt werden:
Man kann das System z.B. durch ein ungeordnetes externes Magnetfeld stören
( ”
random field“-Modell) oder die Kopplungskonstanten zufällig wählen (Spinglas).
In dieser Arbeit werden wir zu jeder Bindung eine zusätzliche Phasenverschiebung
so anbringen, daß die Hamiltonfunktion folgende Form annimmt:
H XY [{Θ i } , {A ij }] = ∑ 〈ij〉
K [1 − cos (Θ i − Θ j − A ij )] . (1.2)
Dabei sei A ij eine normalverteilte Zufallsgröße mit den Momenten [A ij ] d = 0
und [A 2 ij ] d = σ; die Unordnung an verschiedenen Orten sei unkorreliert. In dieser
Arbeit repräsentiert [h] d das Unordnungsmittel einer Größe h, die von der Unordnungskonfiguration
abhängt.
Die thermodynamischen Eigenschaften sind in der kanonischen Zustandssumme
Z XY enthalten. Dabei ist zu beachten, daß hier nur die Spur über die thermischen
Freiheitsgrade {Θ i } gebildet wird:
Z XY = ∑ {Θ i }
e −H[{Θ i},{A ij }] ,
∑
=
{Θ i }
∫ 2π
0
( ∏
i
)
dΘ i
. (1.3)
2π
Die Mittelung
∑
einer Größe h über die thermischen Freiheitsgrade wird dabei mit
〈h〉 = Z −1
XY Θ i
he −H bezeichnet.
Dieses Modell wurde in der Vergangenheit vielfach diskutiert. Granato und Kosterlitz
[18] zeigten, daß dadurch Netzwerke von Josephson-Kontakten mit geometrischer
Unordnung beschrieben werden. Rubinstein et al. [2] untersuchten das
2D XY-Modell, das über die Dzyaloshinskii-Moriya-Wechselwirkung an Störstellen
gekoppelt ist, und fanden, daß es durch obiges Modell beschrieben werden
kann. Ihre Lösung dieses Problems wies reentrance“-Verhalten auf: Wenn man
”
das System bei konstanter Unordnungsstärke von hohen Temperaturen abkühlt,
so verhält es sich zuerst metallisch, geht dann in eine BKT-Phase über, und bei
noch tieferen Temperaturen wird es wieder metallisch.
Dieses reentrance“-Verhalten wurde seitdem viel diskutiert, da es weder in Experimenten
[19, 20] noch in numerischen Simulationen [21–23] gefunden wurde.
”
Korshunov [24] behauptete, daß die BKT-Phase durch Unordnung völlig zerstört
werden sollte. Ozeki und Nishimori [25] zeigten, daß kein reentrance“ auftreten
”
darf, wenn die BKT-Phase existiert.
Daraufhin wurde dieses Problem von Nattermann et al. [26] sowie Cha und Fertig
[27] erneut betrachtet, und beide stellten übereinstimmend fest, daß zum einen
die BKT-Phase existiert und zum anderen kein reentrance“ auftritt. Auf diesen
”
Arbeiten aufbauend untersuchten zuerst Tang [28] und kurz darauf Scheidl [1]

1.4 Aufbau dieser Arbeit 9
das Modell anhand einer Kosterlitz-Renormierungsprozedur genauer. Zur Behandlung
der Unordnung führt Tang eine direkte Unordnungsmittelung im unreplizierten
System durch. Dabei muß er gegenüber Scheidl, der den Replikatrick
verwendet, zusätzliche Näherungen anwenden, auf die wir hier nicht näher eingehen.
Im weiteren werden wir uns eingehend und kritisch mit der Arbeit Scheidls [1] auseinandersetzen;
das heißt, wir werden die Vorgehensweise und Ergebnisse ausführlich
diskutieren und durch eigene Rechnungen ergänzen und korrigieren.
1.4 Aufbau dieser Arbeit
Um es dem Leser zu erleichtern, die einzelnen Kapitel und Abschnitte in den
Gesamtzusammenhang einzuordnen, geben wir zunächst einen kurzen Überblick
über die gesamte Arbeit.
In Kapitel 2 werden wir das XY-Modell durch die Villain-Näherung in eine CG-
Darstellung bringen. Daran anschließend wird der Grundzustand dieses Systems
untersucht. Zum Abschluß des Kapitels replizieren wir das System und mitteln
dann über die Unordnung, um den Replikatrick anzuwenden; als effektives System
erhält man dabei ein 2D CG mit verschiedenen Ladungstypen.
Um später den Replika-Limes auszuführen, wenden wir in Kapitel 3 die Kosterlitz’sche
RG-Methode an, um für das replizierte System Flußgleichungen zu erhalten.
Wir stellen schon hier fest, daß der Übergang in verschiedenen Bereichen
von Temperatur und Unordnungsstärke durch unterschiedliche Ladungstypen getrieben
wird.
Daran anschließend wird in Kapitel 4 der Replika-Limes für diese Flußgleichungen
durchgeführt. Dabei folgen wir den Ideen Scheidls [1] und erhalten schließlich
einen Satz von RG-Gleichungen, die das System mit Unordnung beschreiben sollen
(Näherung I).
Da es nicht möglich ist, diese Differentialgleichungen analytisch zu lösen, wird
in Kapitel 5 eine asymptotische Näherung für den Grenzfall großer Längenskalen
abgeleitet, die schon in [1] vorgeschlagen wurde (Näherung II). Die resultierenden
Gleichungen stimmen in einigen Grenzfällen mit bereits bekannten Ergebnissen
überein, weshalb wir die Gleichungen auch außerhalb ihres eigentlichen Gültigkeitsbereichs
auf endlichen Längenskalen testen. Bei der anschließenden Untersuchung
des RG-Flusses stellt man allerdings reentrance“-Verhalten fest.
”
In Kapitel 6 vergleichen wir die Ergebnisse der RG-Gleichungen aus Näherung I
und II. Anhand der Entropie überprüfen wir zuerst den möglichen Gültigkeitsbereich
(positive Entropie) der Gleichungen in Näherung II, wobei wir im Gegensatz
zu Scheidls Aussagen in der BKT-Phase einen Bereich mit negativer Entropie
finden. Daraufhin untersuchen wir die Gleichungen aus Näherung I durch numerische
Verfahren; immerhin können wir nun feststellen, daß die Phasengrenze kein
reentrance“-Verhalten mehr aufweist. Eine eindeutige Entscheidung darüber, ob
”

10 1 Einleitung
die Entropie nun immer positiv ist, können wir leider nicht treffen. Darüber hinaus
stellen wir jedoch fest, daß die asymptotische Näherung für hinreichend schwache
Unordnung korrekte Ergebnisse liefert.
Kapitel 7 beschäftigt sich mit dem kritischen Verhalten einiger Größen, das aus
den Flußgleichungen bestimmt werden kann: Wir untersuchen die Divergenz der
Korrelationslänge bei Annäherung an die BKT-Phase. Zudem berechnen wir die
Korrelationsfunktionen des Systems mit Unordnung ebenso wie die gemittelte
Dielektrizitätskonstante. Am Ende werden die RG-Ergebnisse dazu verwendet,
die relevanten Exponenten im 2D XY-Modell mit Unordnung zu bestimmen.
In Kapitel 8 stellen wir Monte-Carlo(MC)-Simulationen des CG-Modells vor. Wir
berechnen damit die Übergangstemperatur des Modells in Abhängigkeit von der
Unordnungsstärke σ und vergleichen diese Ergebnisse mit den analytischen Vorhersagen.
Abschließend werden in Kapitel 9 die wesentlichen Ergebnisse dieser Arbeit kurz
zusammengefaßt und noch offene Probleme dargestellt.

Kapitel 2
Vorbereitende Überlegungen
Wie in der Einleitung erwähnt, sind für den Phasenübergang in diesem System
die topologischen Anregungen (Vortizes) maßgeblich. Deshalb führen wir in Abschnitt
2.1 das 2D XY-Modell durch die Villain-Näherung, in der Vortex- und
Spinwellenanteil entkoppelt sind, in ein 2D CG über. Danach wird der Einfluß
der Unordnung auf den Grundzustand dieses Systems untersucht. Um die Unordnungsmittelung
durchzuführen, wird in Abschnitt 2.3 der erste Teil des Replikatricks
durchgeführt, indem wir das 2D CG replizieren und über die Unordnung
mitteln.
2.1 Die Villain-Näherung
In der Villain-Näherung [15, 16] macht man in der Zustandssumme (1.3) die folgende
Ersetzung, die die Periodizität des Cosinus erhält:
exp {−K (1 − cos Θ)} −→
+∞∑
p=−∞
}
exp
{− K∗
2 (Θ − 2πp)2 . (2.1)
Im allgemeinen ist K ∗ abhängig von K; für kleine Temperaturen gilt K ∗ ≈ K.
Wir nehmen im folgenden an, daß diese Abhängigkeit auf die universellen Eigenschaften
des Systems keinen Einfluß hat, und wählen K ∗ = K. Mit Hilfe der
Summationsformel von Poisson (siehe z.B. [12,29]) läßt sich der Villain-Term nun
äquivalent umformen:
+∞∑
p=−∞
exp
{− K }
2 (Θ − 2πp)2 =
1
√
2πK
∞
∑
n=−∞
}
exp
{− n2
2K + inΘ . (2.2)

12 2 Vorbereitende Überlegungen
Somit stellt sich die ursprüngliche Zustandssumme (1.3) in der Villain-Näherung
wie folgt dar:
∫ 2π ( ∏
Z V =
0
i
[
1
√
2πK
)
dΘ i ∏
×
2π
〈ij〉
∑ ∞ {
} ]
exp − n2 ij
2K + in ij (Θ i − Θ j − A ij ) .
n ij =−∞
(2.3)
Die ursprünglichen Freiheitsgrade {Θ i } sind jetzt sehr leicht auszuintegrieren,
wenn man n ij = −n ji beachtet und die folgende Darstellung des Kronecker-δ
verwendet; der Index µ symbolisiert dabei die Verschiebung um einen Gitterplatz
{(0, ±1), (±1, 0)} (im weiteren verwenden wir ein Quadratgitter):
∫ 2π
0
dΘ
{
i
2π exp ∑ }
iΘ i n i,i+µ = δ
µ n i,i+µ,0. (2.4)
µ
Wenn man diese Einschränkung für die neuen Freiheitsgrade {n ij } mit (∂n) i
= 0
abkürzt, so erhält man folgende Zustandssumme:
Z V = ∑ ∏
{
1
√ exp − 1
}
{n ij } 〈ij〉 2πK 2K n2 ij − in ijA ij . (2.5)
(∂n) i =0
Die {n ij } liegen auf den Verbindungen zwischen je zwei der ursprünglichen Winkelfreiheitsgrade;
um die Nebenbedingung (∂n) i
= 0 zu erfüllen, führt man neue
Freiheitsgrade {m a } mit m a ∈ Z ein, die auf einem dualen Gitter zum ursprünglichen
existieren, das heißt im Fall des quadratischen Gitters auf den Plaquetten.
Es ist leicht einzusehen, daß durch die Definition n ij = m a − m b die Nebenbedingung
automatisch erfüllt wird, wenn a und b die an die Bindung ij grenzenden
Plaquetten beschreiben; für diese Plaquetten a und b wird die entsprechende Zufallsvariable
A ab = A ij definiert. Wir erhalten dann die folgende Form für die
Zustandssumme:
Z V = ∑ ∏
{
1
√ exp − 1
}
{m a} 〈ab〉 2πK 2K (m a − m b ) 2 − i (m a − m b ) A ab . (2.6)
Durch Anwendung von Poissons Summationsformel kann die Summe in ein Integral
überführt werden, und wir erhalten:
∫ ∞
Z V = ∑ {q a}
{
exp
−∞
( ∏
a
− 1
2K
dϕ a
) ∏
〈ab〉
∑
( 1
√
2πK
)
×
(ϕ a − ϕ b ) 2 + 2πi ∑ a
(
q a − 1
2π
∑
µ
A a,a+µ
)
ϕ a
}.
(2.7)

2.1 Die Villain-Näherung 13
j
a
m a
n ij
i
b
m b
Abbildung 2.1: Die neuen Freiheitsgrade {m a } liegen auf dem dualen Gitter; durch
n ij = m a − m b wird die Bedingung (∂n) i
= 0 erfüllt.
Die Berechnung dieses Gauß’schen Integrals ist nun leicht möglich:
Z V = Z SW
∑
{q a}
{
exp − 2π 2 K ∑ a,b
(q a − Q a ) ˜G
}
ab (q b − Q b ) , (2.8)
wobei Q a die Unordnungsgröße in dieser Darstellung ist, und ˜G ab die Gitter-
Greensfunktion der Laplacegleichung (siehe unten). In einer weiteren Näherung
werden nur solche Vortizitäten q i mit q i ∈ {0, ±1} zugelassen, da genau diese
Ladungen bei schwacher Unordnung, wie im reinen Modell auch, den Übergang
treiben. Der Spinwellenanteil Z SW besteht hier aus den bereits vorhandenen Vorfaktoren
und einem q i -unabhängigen Faktor, der durch die Gauß-Integration entsteht.
Im weiteren wird dieser Anteil nicht mehr berücksichtigt, da er analytisch
in T ist und daher zum BKT-Übergang nicht beiträgt. Der Rest, der sogenannte
Vortexanteil, wird im folgenden mit Z bezeichnet. Für die darin enthaltene
Gitter-Greensfunktion ˜G ab gilt:
∑
(ϕ a − ϕ b ) 2 = ∑ a,b
〈ab〉
ϕ a ˜G−1 ab ϕ b, d.h. (2.9)
˜G −1
ab = 4δ ab − ∑ µ
δ a,b+µ . (2.10)
Das bedeutet, daß die Gitter-Greensfunktion die Laplace-Gleichung auf dem Gitter
erfüllen muß (∆ → 4δ ab − ∑ µ δ a,b+µ):
δ ab = ∑ c
˜G −1
ac ˜G cb = ∑ c
(
4δ ac − ∑ µ
δ a,c+µ
)
˜Gcb . (2.11)

¡
¡
¡
14 2 Vorbereitende Überlegungen
i
a
−Q ij
Q ij
b
j
Abbildung 2.2: Die Phasenverschiebung A ij produziert einen Vortexdipol ±Q ij =
±A ij /2π auf dem dualen Gitter; dort werden die Phasenverschiebungen durch A ab =
A ij definiert.
Die verbliebenen Freiheitsgrade {q a } stellen Vortizes am Ort x a (x a bezeichnet
den Ortsvektor zum Gitterplatz a) mit q a ∈ {0, ±1} dar. Die neuen Unordnungsgrößen
∑
{Q a } in der CG-Darstellung gehen aus den alten durch die Relation
Q a = 1
2π µ A a,a+µ hervor. Das heißt, die extern“ in der Plaquette a induzierte“
” ”
Vortizität Q a berechnet sich aus der Summe der angrenzenden A iaj a
: 1
Q a = 1
2π
∑
A iaj a
. (2.12)
a
Einige Eigenschaften dieser neuen Zufallsgrößen Q a sind offensichtlich: Jedes A ij
erzeugt auf den angrenzenden Plaquetten einen externen Vortexdipol, das heißt
einen Vortex positiver Vortizität auf der einen Plaquette und einen negativer Vortizität
auf der anderen; gemäß der Definition der Phasenverschiebungen können
die Vortizitäten Q a im Gegensatz zu den ”
internen“ Vortizitäten q a beliebige
Werte annehmen.
Da in dieser neuen Darstellung weitergearbeitet werden soll, muß die Wahrscheinlichkeitsverteilung
der externen Vortizitäten Q a berechnet werden. Es genügt, die
nun auftretende räumliche Korrelation der Zufallsvariablen zu ermitteln, da die
Verteilung einer Linearkombination von gaußischen Zufallsgrößen gaußisch bleibt,
wobei [Q a ] d = 0 der Mittelwert ist:
[Q a Q b ] d
= 1 ∑ ∑
4π 2
a
b
[A iaj a
A ib j b
] d
. (2.13)
Für benachbarte Plaquetten ist genau eine Bindung in beiden Summen enthalten,
man erhält aufgrund der δ-Korrelation der A ij den Beitrag −σ (A ij = −A ji !); für
1 □ a zeigt dabei die Summation über den Rand der Plaquette a an; i a j a stellt eine Bindung
dar, die an die Plaquette a grenzt.

2.1 Die Villain-Näherung 15
a = b ist der Beitrag 4σ. Dies sind alle Beiträge, und daher folgt die Form
[Q a Q b ] d
= σ (
4δ
4π 2 ab − ∑ )
δ a,b+µ = σ −1 ˜G
4π2 ab . (2.14)
µ
1.BZ
˜G
−1
ab
Da die Matrix einen Eigenwert null hat, besitzt sie strenggenommen keine
−1
Inverse. Man wählt deshalb eine Inverse −G ab des regulären Anteils von ˜G
ab
so,
daß G aa = 0 gilt. ˜Gab wird also durch −G ab ersetzt, wobei G(x a − x b ) = G ab
durch das folgende Fourierintegral dargestellt wird:
∫
d 2 k 1 − e ikx
G (x) =
(2π) 2
. (2.15)
4 − 2 cos k x − 2 cos k y
Dabei symbolisiert 1.BZ die erste Brillouin-Zone des Quadratgitters mit dem elementaren
Gitterabstand a 0 . Dieses Integral läßt sich in guter Näherung analytisch
darstellen (siehe [12]):
{
0 für x = 0
G (x) ≈ ( )
1
ln | x 2π a 0
| + π . (2.16)
für |x| ≥ a
2
0
Die Gitter-Greensfunktion G(x) divergiert für große Abstände logarithmisch; deshalb
divergiert auch die Feldenergie eines Vortex logarithmisch mit der Systemgröße.
Das bedeutet, daß nur solche Konfigurationen eine endliche Feldenergie
besitzen und folglich zu Z V beitragen, für die die globale Neutralitätsbedingung
erfüllt ist:
∑
q i = 0. (2.17)
i
Das Einsetzen von (2.16) in (2.8) und Gleichung (2.17) ergibt für die Zustandssumme
des neutralen 2D CG den Ausdruck (i, j bezeichnen nun die Gitterplätze
des dualen Gitters):
Z CG = ∑ {
exp πK ∑ (q i − Q i ) ln |x i − x j |
(q j − Q j )
a 0
{q i }
i≠j
(2.18)
− E ∑ i
(q i − Q i ) 2 }.
Der on-site-Term E = π2 K wird im reinen System als core-Energie eines Vortex
2
interpretiert. Im ungeordneten System ist diese Interpretation allerdings problematischer,
da auch Terme der Form EQ i q i auftreten.
In den weiteren Kapiteln wird der Sprachgebrauch dahingehend geändert, daß das
System aufgrund der logarithmischen Wechselwirkung als neutrales (vgl. (2.17))
Coulombgas aufgefaßt wird und folglich nicht mehr von Vortizes, sondern von
Ladungen gesprochen wird; die Zufallsgrößen sind dann externe Ladungen Q i ,
die als Dipole angeordnet sind.

16 2 Vorbereitende Überlegungen
2.2 Der Grundzustand des Coulombgases mit
externen Dipolen
Es stellt sich natürlich die Frage, welchen Einfluß diese externen Ladungen auf
das Verhalten des Systems haben. Dies untersuchen wir zuerst anhand des Grundzustands,
weil wir erwarten, daß der Einfluß von Unordnung umso stärker wird,
je geringer die Temperatur ist.
Bei Betrachten des Systems (1.2) ist offensichtlich, daß für starke Unordnung
(σ π) jegliche Ordnung zerstört wird; allerdings ist nicht klar, ob die BKT-
Phase, in der quasi-langreichweitige Ordnung existiert, 2 schon für beliebig schwache
Unordnung σ verschwindet, oder ob es einen endlichen kritischen Wert gibt,
ab dem dies geschieht. Es ist bekannt, daß im reinen System der Grundzustand
ladungsfrei ist. Diese Eigenschaft könnte allerdings in Anwesenheit von Unordnung
verlorengehen, da sich Unordnungskonfigurationen einstellen können, so daß
der Grundzustand (Zustand kleinster Energie) nicht mehr ladungsfrei ist.
Um diese Vermutung zu verifizieren, wird nun die gemittelte Ladungs-Ladungs-
Korrelationsfunktion
[C(|x i − x j |)] d
= [〈q i q j 〉] d
(2.19)
berechnet. Diese Größe ist, wie im reinen System, translationsinvariant, da über
alle Unordnungskonfigurationen gemittelt wird. Im verdünnten System (wenige
Ladungen) ist sie durch die Wahrscheinlichkeit P (r) gegeben, eine Ladung an
einem gegebenen Ort vorzufinden, wenn im Abstand r bereits eine Ladung mit
umgekehrtem Vorzeichen vorhanden ist. Bei T = 0 bedeutet dies, daß man die
Wahrscheinlichkeit berechnen muß, mit der eine Konfiguration mit einem Ladungspaar
an den beliebigen Orten i, j (r = (x i − x j ), r = |r|) negative Energie
hat.
Die Energie eines Ladungspaars aufgrund der Kopplung der Teilchen ist durch
V (r) = V ij = 4π 2 KG ij (2.20)
gegeben.
Als zusätzlicher Beitrag kommt die Potentialdifferenz des Unordnungspotentials
U i = −4π 2 K ∑ j Q jG ij hinzu.
Es muß zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieses Potentials ermittelt werden.
Dabei handelt es sich ebenfalls um eine Gaußverteilung mit Mittelwert
[U i ] d = 0 und der räumlichen Korrelation
[U i U j ] d
= −4π 2 σK 2 G ij . (2.21)
2 Quasi-langreichweitige Ordnung bedeutet im CG-Bild, daß die Ladungs-Ladungs-Korrelationsfunktion
(2.19) algebraisch zerfällt.

2.2 Der Grundzustand des Coulombgases mit externen Dipolen 17
Nun ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung für {U i } bestimmt, allerdings benötigt
man die Verteilung für die Potentialdifferenz (U i − U j ), wobei alle anderen U k
keine Rolle spielen (siehe Anhang A):
√
∫
| det G
P [(U i − U j ) = v] =
−1 ∞ (
| ∏
∏
dU
k 8π3 σK 2
k
)×
−∞
k
{
exp − 1 ∑
(
)
(2.22)
1
U k
2 −4π 2 σK 2 G− kl 1 U l
}δ (U i − U j − v) .
k,l
Dann ist die Wahrscheinlichkeit P (r/a 0 ), daß das Unordnungspotential die Wechselwirkungsenergie
eines Paares der Größe r kompensiert, also (U i − U j + V ij ) < 0
gilt, durch folgenden Ausdruck gegeben:
P (r) =
−V
∫
(r)
−∞
dU
√
8π2 σK 2 G ij
exp
{
}
U 2
−
. (2.23)
16π 2 σK 2 G ij
Für r ≫ 1 gilt die Näherung G ij = G(r) ≈ 1/2π ln(r/a 0 ), und da dann nur der
äußerste Teil der Verteilung beiträgt, erhält man für die gesuchte Korrelationsfunktion
P (r):
√ ( ) −π/2σ
σ r
P (r) ≈
. (2.24)
2π 2 ln r/a 0 a 0
Im Grundzustand existieren also nicht nur Ladungspaare auf der Skala des Gitterabstands,
sondern die Wahrscheinlichkeit für große Paare, die das kritische
Verhalten maßgeblich bestimmen, ist ungleich null. Nun kann man die Frage beantworten,
ob diese Paare schon die BKT-Phase zerstören. Dazu muß man sich
an die Ergebnisse ohne Unordnung erinnern; für geringe Paardichten kann dort
die Korrelationsfunktion näherungsweise für r ≫ 1 angeben werden:
C (r) ∝
( r
a 0
) −2πK
. (2.25)
Die Polarisierbarkeit eines Paares zeigt in führender Ordnung folgendes Verhalten,
wobei aufgrund der ursprünglichen Gitterstruktur ein ”
cut-off“ für kleine r
eingeführt wird (R 2 → ˜R 2 ):
∫
χ E ∝
¢
˜ 2
C (r)
( r
a 0
) 2
. (2.26)
Im reinen System divergiert diese Größe für K ≤ 2/π (⇔ 2πK ≤ 4), dadurch
wird der metallische Bereich des Phasendiagramms beschränkt. K = 2/π ist also

18 2 Vorbereitende Überlegungen
die minimale Kopplung, bis zu der die BKT-Phase existieren kann.
Dieses Vorgehen wollen wir jetzt für T = 0 im System mit Unordnung anwenden,
um einen Wert für σ mit ähnlicher Bedeutung zu erhalten: Wir haben gezeigt,
daß genügend starke Unordnung (ähnlich wie die Temperatur) Ladungspaare auf
allen Längenskalen erzeugt; diese Ladungspaare können sich aufgrund einer kleinen
äußeren Störung im Unordnungspotential so umordnen, daß sie diese völlig
abschirmen können. Wir erhalten dann unter Berücksichtigung von
∫
χ E ∝
¢
˜ 2
die Bedingung
P (r)
( r
a 0
) 2
(2.27)
π
2σ ≤ 4 ⇔ σ ≥ π 8
(2.28)
und fassen deshalb σ = π/8 als maximale Unordnungsstärke auf, bis zu der
die BKT-Phase reichen kann. Für hinreichend schwache Unordnung sollte also
der Grundzustand dielektrisch bleiben. Wir werden feststellen, daß dies auch für
positive Temperaturen gilt.
2.3 Der Replikatrick
Um weitere Ergebnisse für das System mit Unordnung zu erhalten, muß man die
freie Energie F = − ln Z über die Zufallsgrößen Q i mitteln; dabei erweist sich
der Logarithmus als besonders problematisch. Viel leichter wäre es, die Zustandssumme
direkt zu mitteln, was für eingefrorene Unordnung leider falsch ist. Aus
diesem Dilemma kann man sich mit Hilfe des Replikatricks [30] befreien. Man
verwendet die folgende Identität:
ln Z = lim
n→0
Z n − 1
n
⇒
[Z n ]
[F] d
= − lim d
− 1
. (2.29)
n→0 n
Dabei soll Z n die Zustandssumme des n-fach replizierten Ausgangssystems bezeichnen,
also n nicht-gekoppelte 2D CG-Systeme mit identischer Unordnungskonfiguration.
Man kann dann im replizierten System die Zustandssumme über
die Unordnung mitteln und damit Berechnungen anstellen. Um die physikalisch
relevanten Ergebnisse für das System mit Unordnung zu erhalten, müssen wir
zuletzt den Limes n → 0 durchführen. Dieser Schritt wird uns später die größten
Probleme bereiten, da die physikalische Bedeutung von nicht-ganzzahligem n unklar
ist. 3
3 Dieses Vorgehen wird von Cardy in [11] ausführlich behandelt.

2.3 Der Replikatrick 19
Es sollte noch erwähnt werden, daß bei einigen Systemen (z.B. Sherrington-
Kirkpatrick-Spinglas, vgl. [31]) diese Methode verallgemeinert werden muß (Replika-Symmetrie-Brechung
[31,32]), um physikalisch richtige Ergebnisse zu erhalten.
4
Um das System zu replizieren, führt man für das CG-System einen zusätzlichen
Index α, den sogenannten Replikaindex, ein und erhält aus (2.8) die replizierte
Zustandssumme n unabhängiger Systeme:
ZCG n = ∑ {
exp 2π 2 K
{qi α }
n∑ ∑
( ) }
(qi α − Q i ) G ij q
α
j − Q j . (2.30)
α=1
i,j
Nun läßt sich die Mittelung über die normalverteilten Zufallsvariablen Q i problemlos
durchführen, wobei die räumliche Korrelation durch (2.14) gegeben ist:
√
[ZCG n ] d = | det G| ∏ 2π ∑
{
exp 2π 2 K ∑ ∑
}
qi α σ
G ijqj
α ×
i
α i,j
∫ ∞
−∞
( ∏
i
{q α i }
) {
dQ i exp − 1 ∑
(
}
Q i − 4π2
2
σ
− n4π2 K
)G ij Q j ×
i,j
{
exp i ∑ Q i i4π 2 K ∑ ∑
qj α G ij
}.
i
α j
Als Ergebnis erhält man dann durch einfache Gauß’sche Integration:
[ZCG n ] d = 1 ∑
{
√∏
i (1 + nσK) exp 2π 2 K ∑ ∑
}
qi α G ijqj
α ×
{qi α }
α i,j
{ −2π 2 σK 2 ∑ ∑
}
exp
qi α 1 + nσK
G ijq β j .
α,β
i,j
(2.31)
(2.32)
Es wird deutlich, daß sich die Struktur der Zustandssumme durch die Mittelung
über die Unordnung geändert hat, denn nun sind Kopplungen nicht nur innerhalb
eines Replikas, sondern auch zwischen verschiedenen Replikas vorhanden; dabei
ist die Wechselwirkung Replika-symmetrisch, das heißt, beim Vertauschen zweier
Replikas bleibt die Zustandssumme invariant. Außerdem erkennt man, daß für
die untersuchte Art der Unordnung die räumliche Abhängigkeit der unordnungsinduzierten
und ursprünglichen Wechselwirkung identisch ist. Dies ist später für
die RG-Behandlung des Problems von entscheidender Bedeutung.
Wenn wir nun die Näherung (2.16) für die Gitter-Greensfunktion anwenden und
die Ladungen der verschiedenen Replikas an einem Ort i zu einem Vektor
q i = (q 1 i , . . . , q α i , . . . , q n i ) (2.33)
4 Ein Ziel der Arbeit ist zu untersuchen, ob wir dies für unseren Fall ausschließen können.

20 2 Vorbereitende Überlegungen
zusammenfassen, so erhalten wir folgende kompakte Form:
[Z n CG ] d = 1
√∏
i (1 + nσK) ∑
{q i }
{
exp π ∑ q i Kq j ln |x i − x j |
− ∑ a
i≠j
i
q i Eq i
}.
(2.34)
Dabei sind die Matrizen K, E ∈ R n×n durch
K αβ = Kδ αβ − ˆK mit ˆK = σK2 , und (2.35)
1 + nσK
E αβ = π2
2 Kαβ
definiert. Im weiteren gilt E = (π 2 /2)K und Ê = (π2 /2) ˆK. Die Neutralitätsbedingung
(2.17) gilt getrennt für jedes Replika:
∑
q i = 0, mit qi α ∈ {0, ±1}. (2.36)
i
Man erhält also eine verallgemeinerte Form des neutralen CG ohne Unordnung;
die skalaren Ladungen werden durch Ladungsvektoren (im Replikaraum) und
die Kopplungskonstante durch eine Kopplungsmatrix ersetzt. Nach der Unordnungsmittelung
ist das Problem wieder translationsinvariant, und aufgrund seiner
Struktur läßt es sich durch die bekannten RG-Methoden behandeln; es wird
deutlich, daß es einem herkömmlichen System mit verschiedenartigen Ladungstypen
sehr ähnlich ist. Die größte Schwierigkeit wird der Grenzübergang n → 0
darstellen.

Kapitel 3
Kosterlitz-Renormierung des
replizierten Systems
Da es sich bei unserem Problem (2.34-2.36) aus dem vorigen Kapitel um eine Verallgemeinerung
des CG-Problems ohne Unordnung handelt, wird in diesem Kapitel
versucht, ein ähnliches Lösungskonzept anzuwenden, wie es von Kosterlitz [6]
vorgeschlagen wurde. Es werden also RG-Gleichungen hergeleitet, und damit wird
der Phasenübergang untersucht; dies geschieht, wie bei der herkömmlichen Rechnung
auch, lediglich in der Näherung geringer Teilchendichten. In diesem Kapitel
wird der Fall n > 0 behandelt, also ein System von n gleichen CG-Ebenen, wobei
alle Ebenen untereinander gleich stark gekoppelt sind. In Kapitel 4 wird der
Replika-Limes n → 0 untersucht; dort wird versucht, die hier gewonnenen Ergebnisse
geeignet zu verallgemeinern.
Das Problem ist durch die Zustandssumme (2.34) mit der Nebenbedingung (2.36)
gegeben. Für die Behandlung durch die RG-Methode ist es bequem, zu einer Kontinuumsdarstellung
überzugehen, wobei beachtet werden muß, daß der Abstand
zweier Vektorladungen nicht kleiner als der Gitterabstand a 0 sein darf. Dies führt
dazu, daß nicht alle Teilchenpositionen unabängig voneinander über den gesamten
Raum R 2 integriert werden dürfen. In dieser Darstellung summiert man dann
nicht mehr über Gitterplätze, sondern über alle vorhandenen Replika-Ladungen,
wobei die Neutralitätsbedingung (2.36) erfüllt sein muß (vgl. δ
ν nνqν,0 ):
[ZCG n ] d = ∑ ∫
1
∏
{n ν} ν (n ν!)
( ∏
ν
Y nν
ν
)
exp
∫
. . .
∏ ∏n ν
|x ν ν i=1
i −xµ j |>a 0
d 2 x ν i
a 2 0
{ n
1 ∑ ∑ µ
∑n ν
2πq µ Kq ν ln
2
µ,ν i=1 j=1
(µ,i)≠(ν,j)
δ
ν nνqν,0 ×
∣ x
µ
∣}
.
a 0
i − xν j
(3.1)
Die Indizes ν, µ numerieren die verschiedenen Typen von Vektorladungen, die
dadurch bestimmt sind, an welchen Stellen des Vektors welche Einträge stehen;

22 3 Kosterlitz-Renormierung des replizierten Systems
α
1 2 3 4
5
Abbildung 3.1: Hier sind fünf verschiedene Vektorladungen dargestellt; dabei symbolisieren
die waagrechten Linien die verschiedenen Replikaebenen und die Zahlen 1-5
verschiedene Gitterplätze. Hier gilt m 0 = 4, 3, 3, 1, 4 und m 1 = 0, 1, 1, 1, 0. q 2 und q 3
haben also die gleiche Fugazität, q 1 = −q 5 bilden zusammen einen Ladungsdipol.
einige Beispiele sind in Abb. 3.1 dargestellt. Die Indizes i, j symbolisieren nicht
mehr die Gitterplätze, sondern die vorhandenen Teilchen“ der verschiedenen Ladungstypen.
”
Wenn q ν den Vektor vom Typ ν bezeichnet, so ergibt sich die zugehörige Paarfugazität
(eines Dipols) Y 2
ν
Y 2
ν
zu:
{
= exp {−2q νEq ν } = exp − 2E ∑ α
( ∑
(qν α )2 + 2Ê
α
q α ν
) 2
}
. (3.2)
Die Größe n ν gibt die Anzahl der Ladungen vom Typ ν in einer Konfiguration an.
Ein Typ einer Vektorladung ist durch durch die Einträge {q α ν } eines Vektors im
Replikaraum bestimmt; da der Nullvektor meist keine physikalische Bedeutung
besitzt, wird ihm kein Typ ν zugeordnet. Es werden die folgenden Abkürzungen
eingeführt, die die Paarfugazität eines Typs vollständig bestimmen:
m 0,ν = ∑ (qν α )2 und (3.3)
α
m 1,ν = ∣ ∑ qν
α ∣
∣. (3.4)
α
Dabei gibt m 0,ν die Gesamtzahl der nicht-trivialen Einträge und m 1,ν den Unterschied
zwischen positiven und negativen Einträgen im Vektortyp ν an. Diese
beiden Größen charakterisieren die einzelnen Typen nicht eindeutig, sondern sie
fassen all die Typen zu einer Klasse zusammen, die wegen der Replika-Symmetrie
die gleiche Fugazität haben.
Nach diesen Vorüberlegungen können wir die RG-Prozedur von Kosterlitz [6] anwenden,
in der sukzessive Freiheitsgrade auf kleinen Längenskalen eliminiert werden,
und dies zu einer Veränderung der Systemparameter führt. Dies geschieht in

3.1 Reskalierung des Gitterabstands 23
zwei Schritten: Zum einen wird die Zustandssumme statt durch den minimalen
Abstand a durch a + da ausgedrückt und danach reskaliert a + da → a; dies führt
zu einer Verdichtung des Systems. Zum anderen werden alle Paare ausintegriert,
die sich im Abstand zwischen a und a + da befinden, das heißt, kleine Paare
verschwinden aus der Zustandssumme, was zu einer Ausdünnung führt. Danach
wird die neue Zustandssumme durch Umdefinition der Systemparameter auf die
gleiche funktionale Form gebracht wie vor dem Renormierungsschritt: Diese Prozedur
liefert Differentialgleichungen für den RG-Fluß der Systemparameter. Das
Verhalten dieses RG-Flusses in der Nähe von Fixpunkten bestimmt das physikalische
Verhalten auf großen Längenskalen, also insbesondere das kritische Verhalten.
Dies wird zum Beispiel in Abschnitt 7.1 am Beispiel der Korrelationslänge
illustriert.
3.1 Reskalierung des Gitterabstands
In der Reskalierungsprozedur werden wir alle a’s in der Zustandssumme durch
a + da ausdrücken und dann diesen Abstand wieder a nennen. Damit die Zustandssumme
unter dieser Operation invariant bleibt, müssen die Parameter des
Systems verändert werden.
Die Größe a kommt in der Zustandssumme (3.1) in zwei Formen vor:
1.
(
1
a → 1
2 (a + da) 2 1 + 2 da )
a
⇒ ∏ ∏n ν
(
1 ∏
a → ∏n ν
)(
1 ∏ 2 (a + da) 2 ν
ν
ν
i=1
i=1
(
1 + 2 da ) nν
)
.
a
(3.5)
2. ln 1 a → ln 1
a + da
⇒ 1 n
∑ ∑ µ
∑n ν
2
= 1 2
µ,ν i=1 j=1
(µ,i)≠(ν,j)
n
∑ ∑ µ
∑n ν
µ,ν
i=1
j=1
(
1 + da )
a
2π da
a q µKq ν =
2π da
a q µKq ν
} {{ }
=0, wegen (2.36)
− 1 2
∑ ∑n ν
ν
i=1
2π da
a q νKq ν .
(3.6)

24 3 Kosterlitz-Renormierung des replizierten Systems
Die Beziehung (3.6) geht im Exponenten in die Zustandssumme ein; deshalb
ergibt sich:
{
exp − π da ∑ ∑n ν
}
q ν Kq ν =
a
ν i=1
{
= exp − π da ∑
n ν
(m ˆK) }
0,ν K − m 2 1,ν =
(3.7)
a
ν
= ∏ [ {
exp −π da (
ˆK) }] n ν
m 0,ν K − m 2 1,ν .
a
ν
Da da/a infinitesimal ist, lassen sich die Terme (3.5) und (3.7) in erster Ordnung
danach entwickeln, und wir erhalten aufgrund der Reskalierung eine veränderte
Fugazität:
Y ν → Y ν + da
a Y ν
( (
2 − π m 0,ν K − m 2 ˆK
))
1,ν . (3.8)
Wenn dies in eine Differentialgleichung umgeschrieben wird, so erhält man als abschließendes
Ergebnis die folgenden RG-Gleichungen für die verschiedenen Typen
ν der Vektorladungen:
a dY ν
2
da = Y ν
2
(
4 − 2π
(
m 0,ν K − m 2 ˆK
))
1,ν . (3.9)
Aus einem anderen Blickwinkel betrachtet kann man dies auch als eine Änderung
der Energien E und Ê interpretieren:
a dE
da
= πK, (3.10)
a dÊ
da = π ˆK. (3.11)
Die beiden Gleichungen ergeben dann zusammen mit
{
Yν 2 (a) = exp 4 ln a }
− 2m 0,ν E + 2m 2
a
1,νÊ . (3.12)
0
die gleiche Information wie Gleichung (3.9). Im folgenden wird immer, außer wir
erwähnen es explizit, von renormierten Größen gesprochen; alle Parameter (K, σ,
E, Ê und Yν 2 ) sind also eigentlich Funktionen des renormierten Gitterabstands
a, 1 wobei a = a 0 die unrenormierten Werte liefert; im folgenden werden diese
Anfangswerte einer Größe h mit h 0 abgekürzt. Für die renormierten Größen (a >
a 0 ) gilt die Beziehung (2.35) zwischen E und K bzw. Ê und ˆK nicht mehr. Auch
die renormierten Fugazitäten Yν 2 sind dann nicht mehr durch Gleichung (3.2)
bestimmt, sondern durch den Ausdruck (3.12) gegeben.
1 Soweit die Bedeutung klar ist, wird in der Notation allerdings darauf verzichtet, diese
Abhängigkeit ständig anzugeben.

3.2 Ausintegrieren kleiner Ladungspaare 25
3.2 Ausintegrieren kleiner Ladungspaare
Die Integration in der Zustandssumme über eine Ladungsposition teilen wir
gemäß Kosterlitz [6] in ein Integral über den Ring zwischen a und (a + da)
um alle anderen Ladungsvektoren und den Rest des Konfigurationsraums auf.
Dann wird die Integration über den Ring ausgeführt. Das bedeutet, daß in allen
Konfigurationen, in denen sich zwei Teilchen q p und q q auf einen Abstand
a < |x p − x q | ≤ (a + da) nähern, diese Freiheitsgrade aus der Zustandssumme
ausintegriert werden. Durch dieses Integral berücksichtigt man die Abschirmung
der Wechselwirkung zwischen zwei weiter entfernten Teilchen durch kleine Paare.
Wie man aus der Rechnung für CG-Systeme mit verschiedenen Ladungsarten
weiß (vgl. Nienhuis [8]), trägt in niederster Ordnung in den Fugazitäten nur
der Fall bei, daß ein Ladungsdipol ausintegriert wird, daß also q p = −q q gilt.
Die Möglichkeit, daß zwei oder mehr verschiedene Ladungen eine neue effektive
Ladung erzeugen, kann daher für kleine Fugazitäten vernachlässigt werden; wir
beschränken uns deshalb im folgenden auf verdünnte Systeme. 2
Wenn wir annehmen, daß q p vom Typ ν ist, so muß für den Beitrag solcher Dipole
das Integral I ν berechnet werden:
I ν =
∫∫
a

26 3 Kosterlitz-Renormierung des replizierten Systems
Nienhuis [8] ist bekannt, daß dies zu den resultierenden RG-Gleichungen lediglich
in höherer Ordnung in Yν
2 beiträgt. Da wir nur verdünnte Systeme betrachten,
stellt diese Näherung kein Problem dar.
Da die Ladung q p schon dadurch festgelegt ist, daß man sich auf einen Vektorladungstyp
ν beschränkt, wird diese nun mit q ν bezeichnet.
In einem verdünnten CG sind die einzelnen Paare weit voneinander entfernt; für
die Ausdehnung |r| ≈ a des auszuintegrierenden Ladungspaares gilt deshalb, daß
sie im allgemeinen wesentlich geringer ist als der Abstand des Paares zu allen
anderen Ladungen. Das Integral kann dann nach der kleinen Größe |r|/|x µ j − R|
entwickelt werden. Da die Integration der linearen Näherung wegen der Isotropie
des Systems keinen Beitrag liefert, wird der Integrand bis in quadratische
Ordnung von |r|/|x µ j − R| entwickelt, und man erhält:
∫
d 2 ∫
R d 2 r
I ν =
1
a 2 a 2
∫
+
¢
2
+ 1 2
¢
2
∫
¢
2
d 2 R
a 2
a

3.3 Umformulierung der RG-Gleichungen 27
gegeben. Durch Umordnen der Zustandssumme (3.1) wird deutlich, daß dieser
Prozeß die Kopplungsmatrix K renormiert:
K → K − da
a 4π3 1 2
∑
ν
Als Differentialgleichung stellt sich dies wie folgt dar:
a dK
da = −4π3 1 2
∑
ν
R ν Y 2
ν . (3.18)
R ν Y 2
ν . (3.19)
Der erste Summand aus Gleichung (3.16) renormiert zusätzlich die Zustandssumme
um einen globalen Faktor:
∏
{
[Z n ] d
→ [Z n ] d
exp π da }
A
a a Y 2
2 ν = [Z n ] d
+ [Z n ] d
π A da ∑
Y
a 2 ν 2
a
. (3.20)
ν
Deshalb erhält man eine Renormierung der freien Energiedichte pro Replikaebene
f = Fa 2 /nA:
a df
da = −π 1 n
∑
ν
Y 2
ν . (3.21)
Die Renormierung der gesamten freien Energiedichte ist durch
( a0
) 2
f g (K 0 , σ 0 , Y 0 ) = fg (K(a), σ(a), Y (a)) + f(a) (3.22)
a
gegeben. Offensichtlich gilt dabei f 0 = 0.
Der erste Summand aus Gleichung (3.22) kommt durch die Vergrößerung der
Längenskala zustande und ist der Beitrag zur freien Energiedichte, den die renormierten
Freiheitsgrade liefern. f(a) ist dagegen der Anteil, den Paare, deren
Ausdehnung kleiner als a ist, beitragen. Diese Überlegung wird später bei der Berechnung
der Entropiedichte (siehe Abschnitt 6.1) von entscheidender Bedeutung
sein.
3.3 Umformulierung der RG-Gleichungen
Grundsätzlich ist der RG-Fluß durch die Differentialgleichungen (3.9) und (3.19)
vollständig gegeben. Die zweite Gleichung für die Matrix K kann allerdings auf lediglich
zwei Differentialgleichungen für die relevanten Parameter K und σ zurückgeführt
werden. Dazu müssen wir die Matrix R = 1/2 ∑ ν Y ν 2R
ν genauer untersuchen:
R αβ = 1 2
∑ ∑
ν
γ,δ
Y 2
ν qγ ν qδ ν Kαγ K βδ . (3.23)
ν

28 3 Kosterlitz-Renormierung des replizierten Systems
Es wird schnell deutlich, daß sich die Struktur der Matrix K auf die Matrix R
überträgt. Deshalb sind nur zwei Werte zu berechnen, der diagonale und der
nicht-diagonale Eintrag. Dabei sind viele Summanden aufgrund des Faktors q γ ν q δ ν
null. Die beiden Einträge der Matrix R sind dann wie folgt gegeben:
R αα = 1 ∑
K αδ K ∑ αγ
2
γ≠δ ν
R α≠β = 1 ∑
K αγ K ∑ βδ
2
γ≠δ ν
q γ ν qδ ν Y 2
ν + 1 2
q γ ν qδ ν Y 2
ν + 1 2
∑
(K αγ ) ∑ 2
γ
ν
∑
K αγ K ∑ βγ
γ
ν
Als nächstes führen wir wie in [1] die folgenden Abkürzungen ein:
Y 2 = 1 2
Y 2
dis = 1 2
∑
ν
∑
ν
(q γ ν )2 Y 2
ν und (3.24)
(q γ ν )2 Y 2
ν . (3.25)
q α ν qα ν Y 2
ν , (3.26)
qν α qβ≠α ν Yν 2 , (3.27)
Y 2
con = Y 2 − Y 2
dis . (3.28)
Aufgrund der Replika-Symmetrie ist klar, daß diese Paarfugazitäten nicht vom
expliziten Wert von α und β abhängen. Ihre Bedeutung kann man sich wie folgt
vorstellen: Y 2 ist die Fugazität für ein Paar, dessen Partner sich in einer Replikaebene
befinden; Ydis 2 ( disconnected“) ist relevant für ein Paar aus Teilchen
”
verschiedener Replikaebenen. Ycon 2 ( connected“) gibt den Unterschied dieser beiden
Werte an und ist somit der Diagonalanteil, der ohne Unordnung vorhanden
”
wäre. Wir werden sehen, daß im Replika-Limes Ydis 2 der Unordnungsteil der Fugazität
und Ycon 2 der reine Anteil ist. Die Gesamtfugazität ist durch Y 2 = Ycon 2 + Y dis
2
gegeben.
Mit diesen Substitutionen erhält man dann die folgenden zwei Differentialgleichungen:
a dKαα
da
a dKα≠β
da
= −4π 3 Y 2 ∑ γ
= −4π 3 Y 2 ∑ γ
(K αγ ) 2 − 4π 3 Y 2
dis
∑
K αγ K αδ , (3.29)
γ≠δ
K αγ K βγ − 4π 3 Y 2
dis
∑
K αγ K βδ . (3.30)
Die vier Summen werden in Anhang B unter Berücksichtigung der genauen Form
von K (K αβ = Kδ αβ − ˆK) explizit berechnet; für die weitere Diskussion der
Ergebnisse ist dies allerdings vorerst nicht notwendig. Zusammen mit (3.9) ist
der RG-Fluß dann vollständig gegeben:
a dY ν
2 ( (
da = Y ν
2 4 − 2π m 0,ν K − m 2 ˆK
))
1,ν .
γ≠δ

3.4 Qualitative Diskussion des RG-Flusses 29
3.4 Qualitative Diskussion des RG-Flusses
In diesem Abschnitt leiten wir einige Ergebnisse aus den RG-Gleichungen für das
replizierte System ab. Da wir aber eigentlich an den Gleichungen im Replika-
Limes n → 0 interessiert sind, fällt die Diskussion knapp und qualitativ aus.
Für n = 1 und σ = 0 erhält man die bekannten Gleichungen für das reine System.
Für den Fall n > 1 werden wir den Phasenfluß qualitativ untersuchen. Die BKT-
Phase wird schon zerstört, sobald nur ein Vektorladungstyp dissoziiert; deshalb
treiben die Ladungstypen mit der geringsten Kopplung den Übergang. In den RG-
Gleichungen sind dies die Ladungstypen, deren Fugazität unter Renormierung am
stärksten steigt bzw. am geringsten fällt. Für die entsprechenden Typen ν muß
also gelten (vgl. (3.9)):
(
)
4 − 2πK m 0,ν − m 2 σK
1,ν
ist maximal. (3.31)
1 + nσK
Man muß also m 1,ν maximal wählen, woraus folgt, daß m 1,ν = m 0,ν gilt (siehe
(3.3) und (3.4)). Daraus erhält man eine nach oben geöffnete Parabel für m 0,ν ,
die die maximalen Werte an den Grenzen m 0,ν = 1 oder m 0,ν = n annimmt. Im
Hochtemperatur-Bereich σK < 1 sind dann die Ladungstypen mit m 0,ν = m 1,ν =
1 relevant; für kleine Temperaturen σK > 1 bestimmt m 0,ν = m 1,ν = n die entscheidenden
Vektorladungstypen. In zwei verschiedenen Parameterbereichen sind
also verschiedene Vektorladungstypen für den Übergang verantwortlich.
Dadurch ist ein weiterer Hinweis gegeben, daß es nicht gerechtfertigt ist, lediglich
einen einzigen Ladungstyp wie in [2] zu betrachten. Man muß also auch im
Replika-Limes mehr als nur einen Vektorladungstyp in Betracht ziehen.
Davon abgesehen ist zu beachten, daß man außerhalb der BKT-Phase unphysikalische
Ergebnisse erhält, da die Fugazitäten dort auf Längenskalen, die groß
genug sind, beliebig anwachsen; zudem verläßt man dabei den Gültigkeitsbereich
der Gleichungen. Bis auf eine Ausnahme (siehe 7.1), wo dieses Problem umgangen
werden kann, werden wir die RG-Gleichungen deshalb nur innerhalb der BKT-
Phase verwenden. Grundsätzlich kann man das Problem dadurch lösen, daß die
Beiträge höherer Ordnung in den Fugazitäten berücksichtigt werden, die bei der
Herleitung der RG-Gleichungen in dieser Arbeit vernachlässigt wurden. Bei der
Untersuchung des BKT-Übergangs spielen sie allerdings keine Rolle.
3.5 Replika-Korrelationsfunktionen
In diesem Abschnitt werden die Ladungsdichte-Korrelationsfunktionen im replizierten
System innerhalb der BKT-Phase betrachtet. Man kann dabei zwei Typen
unterscheiden: Zum einen gibt es die Korrelation innerhalb einer Replikaebene
und zum anderen die zwischen zwei verschieden Replikas.
Die Vektorladungsdichte ρ(r) eines Systems mit den Vektorladungen {q ν i } an den

30 3 Kosterlitz-Renormierung des replizierten Systems
Orten {x ν i } ist durch den folgenden Ausdruck gegeben:
ρ (r) = ∑ ν
∑n ν
i=1
q ν δ (r − x ν i ) . (3.32)
Von Interesse sind nun Korrelationsfunktionen von folgendem Typ: 3
C αβ (r) = 〈 ρ α (0) ρ β (r) 〉 . (3.33)
Diese Funktionen lassen sich problemlos in niederster Ordnung in den Fugazitäten
(entspricht geringer Teilchendichte) berechnen; dazu verwenden wir die Darstellung
des Systems auf der Skala a = |r|. Wir greifen dabei also auf die renormierten
Größen zurück. Mit Hilfe der Zustandssumme (3.1) erhalten wir so in niederster
Ordnung in Yν 2:
C αβ (r) ≈ 1 2
∑
ν
Y 2
ν
∫
¢
˜ 2
d 2 x ν 1
a 2
∫
¢
˜ 2
+ O ( )
Yν
4 |r|=a
= − 2 1
a 4 2
(
d 2 x ν 2
|x
a 2 ρα (0) ρ β ν
(r) 1 − x ν 2 |
a
∑
ν
) −2πqνKq ν
Yν 2 qν α qν β + O ( (3.34)
)
Yν
4 .
Entsprechend den Fugazitäten (3.26-3.28) definieren wir nun die folgenden drei
Korrelationsfunktionen mit |r| = a:
C (a) = C αα (a) = − 2 a 4 Y 2 (a) , (3.35)
C dis (a) = C α≠β (a) = − 2 a 4 Y 2
dis (a) , (3.36)
C con (a) = C (a) − C dis (a) = − 2 a Y 2
4 con (a) . (3.37)
Damit ist ein Zusammenhang zwischen den renormierten Fugazitäten und den
Korrelationsfunktionen hergestellt.
3 Da die Replika-Zustandssumme (2.34) bzw. (3.1) translationsinvariant ist, hängen die Korrelationsfunktionen
auch nur vom Abstand ab.

Kapitel 4
Der Replika-Limes n → 0
In diesem Kapitel wird versucht, die Ergebnisse aus Kapitel 3 so zu verallgemeinern
bzw. zu erweitern, daß man physikalisch sinnvolle RG-Gleichungen für
n → 0 erhält.
Einige dieser Verallgemeinerungen sind einfach durchzuführen; zum Beispiel kann
man in den Gleichungen (3.29) und (3.30) mit Hilfe der Überlegungen aus Anhang
B leicht den Replika-Limes durchführen:
dK αα
dl
dK α≠β
dl
= −4π
[(K 3 2 − 2K ˆK
)
Y 2 + 2K ˆKY
]
dis
2 , (4.1)
]
= −4π 3 [−2K ˆKY 2 +
(
K 2 + 2K ˆK
)
Y 2
dis
. (4.2)
Für den Skalenparameter l des RG-Flusses gilt dabei a = a 0 e l , also dl = da/a. Die
verschiedenen Fugazitäten sind nach wie vor durch die Gleichungen (3.26-3.28)
gegeben, wobei der Limes n → 0 in vernünftiger Weise durchgeführt werden muß;
dies stellt das Hauptproblem des nun folgenden Kapitels dar.
Die interessanten physikalischen Größen in den Gleichungen (4.1) und (4.2) sind
allerdings nicht die Komponenten von K, sondern die Kopplungskonstante K
und die Unordnungsstärke σ; unter Berücksichtigung von K αβ = Kδ αβ − σK 2
erhält man dann die RG-Gleichungen für K und σ:
dK
= −4π 3 K 2 Ycon 2
dl
(4.3)
dσ
dl = 4π3 Ydis 2 (4.4)
Dabei haben wir folgende Vorstellung von den verschiedenen Fugazitäten: In Abschnitt
7.2 werden wir sehen, daß die Dichte der im Unordnungspotential eingefrorenen
Ladungen durch Ydis 2
2
bestimmt ist, und entsprechend Ycon den Beitrag
der freien Ladungen zur Gesamtfugazität Y 2 = Ydis 2 + Y con 2 angibt. Deshalb gibt
der Quotient Ydis 2 /Y 2 die Glasartigkeit“ des Systems an. Wir erkennen dann,
”
daß die eingefrorenen Ladungen nur die Unordnungsstärke renormieren und die

32 4 Der Replika-Limes n → 0
freien Ladungen nur die Kopplung.
In der Arbeit von Rubinstein et al. [2] wurden zur weiteren Rechnung nur solche
Konfigurationen berücksichtigt, in denen ausschließlich Ladungstypen mit
m 0 = m 1 = 1 vorhanden sind; wir werden später sehen, daß diese Näherung
nur für große Temperaturen gerechtfertigt ist. Man muß nämlich auch feststellen,
daß bei σ ≠ 0 die Anziehung zwischen den Ladungen verschiedener Replikas
dazu führt, daß auch Vektorladungstypen mit m 0,ν > 1 relevant werden und die
Näherung für tiefe Temperaturen zusammenbricht. 1 Deshalb ist eine vorsichtigere
Annäherung an den Replika-Limes angebracht.
Bisher wurde der Grenzübergang n → 0 nur an solchen Stellen durchgeführt,
an denen n = 0 ein wohldefiniertes Ergebnis liefert. Wenn man allerdings eine
RG-Gleichung für die Paarfugazität Y 2 aus den Gleichungen (3.9) und (3.26)
herleitet, bleibt folgendes Problem:
dY 2
dl
= ∑ ν
(
4 − 2π
(
m0,ν K − m 2 1,ν σK2)) (q α ν )2 Y 2
ν . (4.5)
In verschiedenen Gleichungen wie (3.21), (3.26-3.28) oder (4.5) ist der Limes von
Summen der Form ∑ ν
. . . zu bilden. Da es kein befriedigendes Ergebnis liefert,
diese Summen durch null zu ersetzten, was Y 2 , Ycon, 2 Ydis 2 = 0 implizieren würde,
muß man zuerst die Summe für endliches n berechnen und danach das Ergebnis
geeignet nach n = 0 fortsetzen.
In den nächsten beiden Abschnitten wird, den Überlegungen Scheidls folgend, ein
auf diese Weise geschlossenes RG-Gleichungssystem für n → 0 hergeleitet.
4.1 Die Eintyp-Näherung
Aus dem Fall n > 1 ist bekannt, daß das Problem nicht dadurch beschrieben
werden kann, daß auf dem gesamten Parameterbereich die gleichen Ladungstypen
den Übergang treiben. Möglich wäre allerdings, daß zu jeder Kopplungskonstante
K und Unordnungsstärke σ andere Werte m 0/1 gehören (vgl. Abschnitt 3.4).
Dementsprechend sind für jedes (K, σ)-Paar die Ladungstypen ν für den Übergang
entscheidend, für die m 0/1,ν = m 0/1 gilt. Wie wir in Abschnitt 3.4 gesehen
haben, tragen nur die am schwächsten gekoppelten Ladungstypen bei, für die
jeweils m 1,ν = m 0,ν = m 0 gilt.
1 Schon für den Fall n > 0 ist diese Näherung nur in einem begrenzten Parameterraum gültig
(vgl. Abschnitt 3.3).

4.1 Die Eintyp-Näherung 33
Unter dieser Voraussetzung kann man die Fugazitäten einfacher ausdrücken:
Y 2 = 1 2 lim
∑
( )
′
n − 1
(qν α ) 2 Yν
2 = lim Ym 2 n→0
n→0 m
ν
0 − 1 0
, (4.6)
Ydis 2 = 1 2 lim
∑
( )
′
n − 2
qν α n→0
qβ≠α ν Yν
2 = lim Ym 2 n→0 m 0 − 2 0
, (4.7)
Ycon 2 = Y 2 − Ydis 2 = lim
lim
n→0
lim
n→0
Y 2
con
Y 2
Y 2
dis
Y 2
ν
= lim
n→0
= lim
n→0
n→0
( n−2
m 0 −1)
Y
2
m0
(
n−1
m 0 −1
( n−2
m 0 −2)
Y
2
m0
(
n−1
m 0 −1
( n − 2
m 0 − 1
)
Ym 2 0
, (4.8)
)
Y
2 m0
= m 0 , (4.9)
)
Y
2 m0
= 1 − m 0 . (4.10)
Die Summen ∑ ′
ν
. . . sind dabei nur über die Vektorladungstypen zu nehmen, für
die m 0,ν = m 1,ν = m 0 gilt. Da Yν 2 = Ym 2 2
0
= exp{4l − 2m 0 E + 2m0Ê} dann unabhängig
von ν ist, ergeben die Summen die angegebenen Binomialkoeffizienten.
Man erhält sofort die RG-Gleichungen:
dK
= −4π 3 n − m 0
dl n − 1 K2 Y 2 n→0
−→ −4π 3 m 0 K 2 Y 2 , (4.11)
dσ
dl = m 4π3 0 − 1
n − 1 Y 2 n→0
−→ 4π 3 (1 − m 0 ) Y 2 , (4.12)
dY 2
= ( 4 − 2π ( m 0 K − m 2 0
dl
σK2)) Y 2 . (4.13)
Offen bleibt bei diesen Gleichungen lediglich, welcher Wert für m 0 = m 0 (K, σ)
einzusetzen ist. Dabei stellt sich die Frage, in welchem Bereich m 0 nach dem
Replika-Limes überhaupt liegen muß, da die triviale Vermutung n → 0 ⇒ m 0 → 0
kein physikalisches Ergebnis liefert. Deshalb verallgemeinern wir die Bedingung
(n − m 0 )(m 0 − 1) ≥ 0, die für m 0 , n ∈ N mit 0 < m 0 ≤ n identisch ist, für n → 0
(m 0 , n ∈ R!) und erhalten damit den erlaubten Bereich für m 0 :
(n − m 0 ) (m 0 − 1) ≥ 0 n→0
−→ 0 ≤ m 0 ≤ 1. (4.14)
Also gilt im Replika-Limes m 0 ∈ [0, 1].
Als Test wird der bekannte Fall σ = 0 untersucht. Wenn man nun, wie in Abschnitt
3.3, m 0 so bestimmt, daß (4−2π(m 0 K−m 2 0σK 2 )) = (4−2πm 0 K) maximal
ist, dann erhält man den unphysikalischen Wert m 0 = 0. Richtig ist aber der Wert
m 0 = 1, der hier den minimalen Wert liefert.
Im folgenden soll das m 0 deshalb so berechnet werden, daß es den minimalen
Wert von (4 − 2π(m 0 K − m 2 0 σK2 )) liefert. 2 Dazu betrachtet man diesen Term als
2 Eine ähnliche Problematik kennt man aus dem Bereich der Replika-Symmetrie-
Brechung [32], wenn statt des Minimums der freien Energie das Maximum bestimmt werden
muß.

34 4 Der Replika-Limes n → 0
Funktion von m 0 ∈ R. Solange das Minimum dieser Parabel in [0, 1] liegt, liefert
dieses Minimum den relevanten Wert für m 0 . Sobald es allerdings jenseits von 1
liegt, liefert m 0 = 1 den minimalen Wert in [0, 1]. Für m 0 erhält man also durch
leichte Analysis:
m 0 =
{
1
für 1
< 1
2σK 2σK
1
1 für > 1 . (4.15)
2σK
Mit diesem Ergebnis scheint es so, als sei das Problem gelöst: Man kann den RG-
Fluß durch ein geschlossenes Differentialgleichungssystem angeben und erkennt,
daß im Parameterbereich 1/2σK < 1 andere Ladungstypen als die mit m 0 = 1
eine Rolle spielen. In diesem Bereich bilden sich auch eingefrorene Ladungen aus,
da Ydis 2 /Y 2 = 1 − m 0 .
Allerdings hat die Eintyp-Näherung“ (bei jeder Temperatur trägt jeweils nur ein
”
Ladungstyp bei) essentielle Schwächen: Wenn man nun z.B. die Paarfugazität Y 2
(oder auch eine der anderen Fugazitäten) ausrechnen will, so erhält man hier für
n → 0 einen divergenten Ausdruck (vgl. [33, 34]):
( ) n − 1
Y 2 = Ym 2 m 0 − 1 0
=
n→0
∼ sin πm 0
πn Y 2 m 0
.
Γ (n)
Γ (m 0 ) Γ (n − m 0 + 1) Y 2 m 0
(4.16)
Das gleiche Problem tritt auf, wenn man die RG-Gleichung für die freie Energiedichte
(3.21) herleitet:
df
dl = − 2π 1 ( ) n
Ym 2 n m 0
= −2π 1 ( ) n − 1
Ym 2
0 m 0 m 0 − 1 0
n→0
∼ −2π sin πm 0
m 0 πn Y 2 m 0
.
(4.17)
Einige entscheidenden Größen des Systems sind demnach nicht bestimmt. Lediglich
für m 0 = 1 (dies entspricht 1/2σK > 1) sind (4.16) und (4.17) definiert, und
man erhält in diesem Bereich:
Y 2 = Ycon 2 = Y1 2 , (4.18)
df
dl = −2πY 2 . (4.19)
Hier ist Y 2
dis
= 0, und der Einfluß von Unordnung in Form von eingefrorenen
Ladungen ist somit vernachlässigbar; deshalb stimmen die RG-Gleichungen hier
mit denen aus [2] überein. Insgesamt stellt man fest, daß diese Näherung für unser
Problem nicht ausreicht.

£
©
4.2 Berücksichtigung aller Ladungstypen (Näherung I) 35
¤¦¥¨§
Abbildung 4.1: Anfangsbedingung für Y in Abhängigkeit von K −1 und σ nach Gleichung
(4.22).
4.2 Berücksichtigung aller Ladungstypen (Näherung
I)
Nachdem der Lösungsansatz aus dem letzten Kapitel nur bedingt zufriedenstellende
Ergebnisse liefert, berücksichtigt Scheidl [1] nun alle Vektorladungstypen
auf einmal: Alle zusammen sollen gleichzeitig zum Phasenübergang beitragen;
d.h. die Summen ∑ ν
. . . werden explizit ausgeführt. Man erhält dann analytische
Funktionen von n, so daß der Replika-Limes einfach durchgeführt werden
kann. Als Beispiel behandeln wir die Summe aus der RG-Gleichung für f (3.21).
Der quadratische Term in m 1,ν wird dabei durch eine Gauß-Transformation linearisiert:
∑
ν
Y 2
ν
= e 4l ∑ ν
{
}
exp −2Em 0,ν + 2Êm2 1,ν =
= e ∑ [ {
√ }]
4l exp −2Em 0,ν + 2A 2Êm 1,ν =
A
ν
[ ∑ (
)
= e 4l α
exp {−2E} (qα ν ) 2 ( { √
exp 2A 2Ê
{qν α}≠0 { √ }
= e
[(1 4l + exp −2E + 2A 2Ê
{ √ } ) n
+ exp −2E − 2A 2Ê − 1
]
.
A
})
α qα ν
]
A
=
(4.20)
Dabei ist A eine gauß’sche Zufallsvariable mit Mittelwert [A] A
= 0 und zweitem
Moment [A 2 ] A
= 1; [. . . ] 2 A
stellt das Mittel bezüglich der Zufallsgröße A dar. Wie

!
(
(
&
"
36 4 Der Replika-Limes n → 0
()# &+*
()# &,"
()# &
()# ('-
()# ('.
()# (/*
()# (0"
()# %
&'# %
"$# %
Abbildung 4.2: Im relevanten Bereich kleiner Fugazitäten stimmen die beiden Kurven
exp{−π 2 K/2} (durchgezogen) und exp{−π 2 K/2}/ √ 1 + 2 exp{−π 2 K} (gestrichelt)
sehr gut überein.
bisher gilt qν α ∈ {0, ±1}. Mit der Abkürzung
{ √ }
z ± = exp −2E ± 2A 2Ê
(4.21)
lassen sich auch die anderen Summen recht einfach darstellen (siehe Anhang C):
Y 2 = 1 ∑
(qν α 2
Yν
2 2 e4l (z + + z − ) (1 + z + + z − ) n−1] A
ν
n→0
−→ 1 [
z+ + z −
2 e4l ,
1 + z + + z −
]A
(4.22)
Ydis 2 ∑
qν α 2
ν Yν
2 2 e4l (z + − z − ) 2 (1 + z + + z − ) n−2] A
ν
[ (
n→0
−→ 1 ) ] 2 z+ − z −
2 e4l ,
1 + z + + z −
(4.23)
A
Ycon 2 = Y 2 − Ydis
2 n→0
−→ 1 [
z+ + z − + 4z + z −
2 e4l (1 + z + + z − )
]A
2 . (4.24)
In diesen Termen läßt sich der Replika-Limes problemlos durchführen. Zudem
kann der Fluß der freien Energie berechnet werden, wobei f 0 = 0 als Anfangsbedingung
dient (vgl. Abschnitt 3.2):
[
df
dl = −πe4l lim
n→0
(1 + z + + z − ) n − 1
n
]
A
[
]
= −πe 4l ln (1 + z + + z − ) . (4.25)
A
Es ist nun nicht mehr notwendig, die ν-Summen in Gleichung (4.5) zu behandeln,
da man mit den Gleichungen (4.22-4.24) explizite Darstellungen der verschiedenen
Paarfugazitäten als Funktionen von E und Ê gewonnen hat. Zusammen mit

4.2 Berücksichtigung aller Ladungstypen (Näherung I) 37
den folgenden RG-Gleichungen haben wir nun ein abgeschlossenes System von
Differentialgleichungen, das wir mit Näherung I bezeichnen:
dE
= πK,
dl
(4.26)
dÊ
= π
dl
= πσK 2 , (4.27)
dK
= −4π 3 K 2 Y 2
dl
con, (4.28)
dσ
dl = 4π3 Ydis. 2
(4.29)
Der RG-Fluß ist hierdurch in einem Raum der vier Variablen E, Ê, K und σ
definiert. Dabei sind als Anfangswerte für K und σ die unrenormierten Werte zu
nehmen; diese bestimmen die Anfangswerte E = (π 2 /2)K und Ê = (π2 /2)σK 2 .
Durch die Gleichungen (4.22-4.24) kann man mit l = 0 die Anfangswerte der
Fugazitäten in Abhängigkeit von K und σ berechnen.
Die Anfangswerte für Y sind in Abb. 4.1 dargestellt. Man erkennt dabei, daß
Y auch für K −1 = 0 mit steigendem σ auf endliche Werte anwächst. Dies
liegt an eingefrorenen Ladungen, die durch die Unordnung erzeugt werden, und
stimmt mit unseren Überlegungen aus Abschnitt 2.2 überein. Für σ = 0 sollte
die Anfangsbedingung für Y 2 durch Y 2 = exp{−π 2 K} gegeben sein; aus Gleichung
(4.22) folgt aber Y 2 = exp{−π 2 K}/(1 + 2 exp{−π 2 K}). Anhand von Graphik
4.2 erkennt man allerdings, daß diese beiden Ausdrücke für den hier betrachteten
Bereich kleiner Fugazitäten gut übereinstimmen.
Man kann die Gleichungen (4.26-4.29) durch numerische Verfahren lösen; auf
analytischem Weg ist dies aufgrund der komplizierten funktionalen Abhängigkeit
der Fugazitäten (4.22-4.24) von E und Ê leider nicht möglich. Deshalb wird im
nächsten Abschnitt versucht, durch eine weitere Näherung diese Gleichungen auf
eine einfachere Form zu bringen.

Kapitel 5
Die asymptotische Näherung
Da die RG-Gleichungen aus dem letzten Kapitel nicht analytisch lösbar sind,
schlägt Scheidl [1] eine weitere Näherung für große Längenskalen l vor, die es
ermöglicht, die RG-Gleichungen in eine Form zu bringen, in der der RG-Fluß im
Raum der drei Parameter Y 2 , K und σ gegeben ist. Während wir diese Gleichungen
im ersten Teil des Kapitels herleiten, folgt im zweiten Teil eine ausführliche
Diskussion des resultierenden RG-Flusses.
5.1 Herleitung der vereinfachten RG-Gleichungen
(Näherung II)
Der Arbeit Scheidls [1] folgend wenden wir eine asymptotische Näherung an: Wir
entwickeln die Gleichungen um den Fixpunkt für l → ∞ und berücksichtigen
nur die führenden Terme bezüglich der Skala l; alle Beiträge, die schneller mit l
abnehmen, werden vernachlässigt. Dabei wird angenommen, daß eine BKT-Phase
existiert, in der die Paarfugazität gegen null renormiert, wobei K und σ endliche
Werte K ∞ und σ ∞ erreichen; wir bezeichnen Fixpunktwerte einer Größe h mit
h ∞ = lim l→∞ h. Dann kann man das Renormierungsverhalten von E und Ê aus
den Gleichungen (4.26) und (4.27) explizit angeben:
K ≈ K ∞ ⇒ E ≈ πKl, (5.1)
σ ≈ σ ∞ ⇒ Ê ≈ πσK2 l. (5.2)
Im Rahmen der Näherung werden hier auch konstante Terme, die durch die Anfangswerte
auftreten, vernachlässigt. Dadurch verliert man alle Abhängigkeiten
von den Startbedingungen. Man erhält dann den folgenden Ausdruck für z ± aus
Gleichung (4.21):
{ ( √ )}
2σ
z ± = exp −2πKl 1 ∓ A . (5.3)
πl

5.1 Herleitung der vereinfachten RG-Gleichungen (Näherung II) 39
In Anhang D werden die resultierenden Integrale (4.22-4.24) in führender Ordnung
in l berechnet:
Y 2 ≈
Y 2
{
e
−2πK(1−1/2τ)l+4l
für τ > 1
√ σ
2π 2 l
πτ
sin(πτ) e− π
2σ l+4l für τ < 1 , (5.4)
√ σ πτ(1−τ)
2π 2 l sin(πτ) e− π
dis ≈ {
e
−4πK(1−1/τ)l+4l
für τ > 2
Y 2
con ≈
{
e
−2πK(1−1/2τ)l+4l
für τ > 1
√ σ
2π 2 l
2σ l+4l für τ < 2 , (5.5)
πτ 2
sin(πτ) e− π
2σ l+4l für τ < 1 , (5.6)
wobei τ = 1/2Kσ ist. Ebenso kann man in dieser Näherung den RG-Fluß der
freien Energiedichte f aus Gleichung (4.25) bestimmen:
{
df e
−2πK(1−1/2τ)l+4l
dl = −2π für τ > 1
√ σ π
2σ l+4l für τ < 1 . (5.7)
2π 2 l sin(πτ) e− π
Man erkennt sofort, daß diese Gleichungen nur auf großen Längenskalen gelten
können, da die Ausdrücke für l → 0 divergieren; die Ursache ist darin zu sehen,
daß die RG-Gleichungen durch die asymptotische Näherung praktisch ihr
Gedächtnis“ an die Anfangsbedingungen verloren haben.
”
Trotzdem lassen sich daraus einige Größen berechnen, wobei wiederum nur die
führenden Terme auf großen Längenskalen berücksichtigt werden. Die Quotienten
der Fugazitäten können in dieser Näherung leicht berechnet werden:
{
Ycon
2
Y ≈ 1 für τ > 1
2 τ für τ < 1 , (5.8)
{
Ydis
2
Y ≈ 0 für τ > 1
2 (1 − τ) für τ < 1 . (5.9)
Es ist nun auch möglich, eine einfache Form der RG-Gleichungen anzugeben,
indem man die Fugazität Y 2 (5.4) nach l differenziert:
dY 2
dl
{[ ( )]
4 − 2πK 1 −
1
2τ Y
2
für τ > 1
= ( )
4 −
π
2σ Y 2 − 1 Y 2 für τ > 1 . (5.10)
2l

40 5 Die asymptotische Näherung
Man erhält ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem in den Größen Y 2 , K
und σ, das wir im folgenden Näherung II nennen:
dY 2
= [4 − 2πKτ ∗ (1 − τ ∗ σK)] Y 2 ,
dl
(5.11)
dK
= −4π 3 τ ∗ K 2 Y 2 ⇔ dK−1
= 4π 3 τ ∗ Y 2 ,
dl
dl
(5.12)
dσ
dl = 4π3 (1 − τ ∗ ) Y 2 , (5.13)
df
dl = −2π 1
τ Y 2 , ∗ (5.14)
mit τ ∗ = min {τ, 1} , τ = 1
2Kσ .
Diese RG-Gleichungen stimmen exakt mit denen überein, die auch Tang [28] für
den Grenzfall großer Skalen herleitet.
Da in diesen Gleichungen keine Probleme mehr für l → 0 auftreten, stellt sich
die Frage, ob sie für kleine Fugazitäten trotz der asymptotischen Approximation
auch auf endlichen Skalen gültig sind. Diese Möglichkeit wird dadurch gestützt,
daß die Gleichungen für σ = 0 mit denen des reinen Systems [6] und für τ > 1 mit
denen aus [2] übereinstimmen. Interessanterweise stimmen (5.11-5.13) auch mit
den RG-Gleichungen (4.11-4.13) der Eintyp-Näherung aus Abschnitt 4.1 überein.
Im weiteren (Kapitel 6) werden diese Gleichungen auf endlichen Renormierungsskalen
l im gesamten Parameterbereich daraufhin untersucht, ob die Ergebnisse,
die sie liefern, physikalisch vernünftig sind.
5.2 Eigenschaften des RG-Flusses
In diesem Abschnitt werden wir einige Eigenschaften der RG-Gleichungen (5.11-
5.13) untersuchen. Insbesondere werden die Fixpunkte sowie der qualitative Verlauf
des Flusses diskutiert.
Man erkennt sofort, daß Y 2 = 0 eine Fixpunktebene der Gleichungen darstellt;
wie im reinen Fall befindet sich das System in der BKT-Phase, falls die Fugazität
gegen null renormiert. Dies ist der Fall, wenn das Vorzeichen in der RG-Gleichung
der Fugazität negativ ist. Daher ist die Phasengrenze für die renormierten Werte
bei l → ∞ durch die folgende Gleichung bestimmt:
4 − 2πK ∞ τ∞ ∗ (1 − τ∞σ ∗ ∞ K ∞ ) = 0
}
mit τ∞ {1, ∗ = min 1
τ ∞ =
2K ∞ σ ∞
⇔
(5.15)
{ ( )
K∞
−1 1 −
2
π
σ ∞ =
K−1 ∞ für τ ∞ > 1
π
für τ
8 ∞ < 1 .

6
M
M
5.2 Eigenschaften des RG-Flusses 41
MNGQP
MNGJR
MNGLK
798;:=@?BADC,E
MNGF
MNGQP MNGJO
FHGLK FHGJI
Abbildung 5.1: Analyse der Flußgleichungen (4.11-4.13) aus Näherung II. Die durchgezogenen
Linien zeigen die Grenze der BKT-Phase für Y 2 → 0 sowie die Linie τ = 1.
Die gestrichelte Linie ist die Phasengrenze für endliche Anfangswerte der Fugazität
nach (4.22). Die gepunkteten Linien sind Projektionen von Trajektorien, die auf der
kritischen Fläche laufen, in die K −1 -σ-Ebene.
13254
Dies ist in Abbildung 5.1 dargestellt. Man erkennt sofort, daß die Ergebnisse
für den Grundzustand aus Abschnitt 2.2 im Limes K −1 → 0 mit denen aus den
RG-Gleichungen gewonnenen Resultaten übereinstimmen: Die Unordnungsstärke
σ = π/8 ist der maximale Wert, bei dem noch quasi-langreichweitige Ordnung
existieren kann.
Diese Phasengrenze für Y 2 = 0 gilt vermutlich nicht nur in asymptotischer Näherung,
denn aufgrund folgender Überlegung ist plausibel, daß sie auch für die
ursprünglichen Gleichungen (4.26-4.29) in Näherung I gelten sollte: Man startet
mit einer Trajektorie an einem beliebigen Anfangswert innerhalb der BKT-Phase;
diese läuft mit wachsendem l gegen Y 2 = 0. Irgendwann läuft diese Trajektorie
dann in den Gültigkeitsbereich der asymptotischen Näherung, und das Verhalten
für Y 2 ≈ 0 wird dadurch richtig beschrieben. Dies ist in den Gleichungen (4.26-
4.29) leider nicht direkt erkennbar, da Y 2 selbst darin nicht vorkommt.
Man erhält also eine kritische Fläche, die durch die marginalen Trajektorien gegeben
ist, die gerade noch gegen Y = 0 laufen. Anhand einiger auf ihr verlaufender
Trajektorien ist dies in Abb. 5.2 dargestellt.
Da die inverse Kopplung K −1 und die Unordnungsstärke σ im Laufe der Renormierung
steigen, sollten die kritischen Werte Kc
−1 und σ c , an denen der Übergang
stattfindet, immer unterhalb der Grenzlinie (5.15) liegen; insbesondere gilt:
K −1
c < π 2
und σ c < π 8 . (5.16)

Y
Y[Z]\
Y[ZL^
Y[Z_
Y[Z]`
S
T
Y
42 5 Die asymptotische Näherung
Y[Zba
Y[Zba
Y[Z]`
Y[Z^
Y[Z_
Y[Ze
Y[ZL^
aBZ`
UWVX
YcZ\
aBZd
Abbildung 5.2: In dieser Graphik ist anhand von ausgewälten Trajektorien (gepunktete
Linien) die kritische Fläche dargestellt. Außerdem sind in gestrichelten Linien die Linie
τ = 1 und die Phasengrenze für Y 2 → 0 eingezeichnet.
Die ”
physikalische“ Phasengrenze erhalten wir durch numerische Integration der
RG-Gleichungen (5.11-5.13), wobei man die Anfangsbedingung für Y 2 aus Gleichung
(4.22) erhält. Die Phasengrenze ist in Abb. 5.1 dargestellt. Man erkennt,
daß dieser aus der asymptotischen Näherung gewonnene RG-Fluß zu ”
reentrance“-Verhalten
führt, da der kritische Wert für σ mit kleinen K −1 wieder abfällt.
Wie in der Einleitung bereits diskutiert, wurde dies aber noch nie experimentell
oder in numerischen Simulationen beobachtet.
Wenn man nun das Verhalten innerhalb der BKT-Phase betrachtet, stellt man
schon anhand der RG-Gleichungen fest, daß hier zwei verschiedene Bereiche existieren,
die durch τ = 1 getrennt sind. Dies ist besonders deshalb von Interesse,
da eine solche Grenze in den ursprünglichen RG-Gleichungen (4.26-4.29) nicht zu
erkennen ist.
Wir stellen fest, daß für τ < 1 die Unordnungsstärke zu größeren Werten hin renormiert.
Wie in Kapitel 3 dargelegt, kommt die Renormierung von σ nur durch
das Ausintegrieren von kleinen Paaren zustande. Eigentlich würde man erwarten,
daß durch thermische Ladungen die Unordnung abgeschirmt wird und dadurch
dieser Prozeß ein gegenteiliges Ergebnis liefern sollte. Es muß allerdings beachtet
werden, daß nicht σ selbst die relevante Größe für die Abschirmung ist, sondern
wie man aus den bisherigen Rechnungen weiß, das Produkt σK 2 wegen der Abschirmung
zu kleineren Werten renormiert; dies ist natürlich immer noch möglich,
wenn σ unter Renormierung steigt.
Innerhalb des Gebiets τ < 1 kann man nochmals einen Bereich getrennt untersuchen:
Während es für Anfangswerte mit 1/2 < τ < 1 grundsätzlich möglich
ist, daß die Parameter im Laufe der Renormierung die Linie τ = 1 überschreiten,
bleiben für Startwerte mit τ < 1/2 auch die renormierten Parameter in diesem
Bereich. Dies ist dadurch zu begünden, daß nach den RG-Gleichungen (5.12) und
(5.13) die Unordnungsstärke σ in diesem Gebiet immer schneller unter Renor-

5.2 Eigenschaften des RG-Flusses 43
mierung steigt als die inverse Kopplungskonstante K −1 . Quantitativ wird das
anhand der folgenden Rechnung deutlich:
) (− K−1 dK −1
= 4π 3 τ (
σ Y 2 τ − 1 + τ
dτ
dl = 1 2
σ 2
dσ
dl + 1 σ
= 4π 3 τ (
σ Y 2 τ − 1 ) {
> 0, für τ > 1 2
=
.
2 < 0, für τ < 1 2
dl
σ
)
=
} K{{ −1
}
1
2τ
(5.17)
Folglich fällt der Wert für τ = K −1 /2σ im Bereich τ < 1/2 immer unter Renormierung,
und somit gilt auf einer RG-Trajektorie, die dort startet, auch immer
τ < 1/2.
Für die verschiedenen Gebiete des Parameterbereichs lassen sich zusätzlich Konstanten
der Bewegung angeben. Offensichtlich gilt für τ > 1:
σ = konst. (5.18)
Analog dazu erhält man für τ < 1:
K − σK 2 = konst. (5.19)
Durch diese Gleichungen sind die Projektionen der Trajektorien in die K-σ-Ebene
schon bestimmt; dies ist in Abb. 5.1 anhand einiger Trajektorien dargestellt. Wie
sich durch Einsetzen der Differentialgleichungen (5.11-5.13) einfach zeigen läßt,
sind die noch fehlenden Konstanten wie folgt gegeben:
(
Y 2 − π −3 K −1 − π 2 σK + π )
2 ln K = konst. für τ > 1, (5.20)
(
Y 2 − π −3 K −1 + σ + π )
4 ln K = konst. für τ < 1. (5.21)
Dadurch sind die Trajektorien im gesamten Gültigkeitsbereich der RG-Gleichungen
bestimmt.
Zusammenfassend läßt sich feststellen, daß für den Parameterbereich τ < 1 die
RG-Gleichungen deutlich von denen des reinen Systems abweichen, wohingegen
im restlichen Bereich die Eigenschaften des Systems mit Unordnung denen des
reinen Systems sehr ähnlich sind, da hier σ unter Renormierung konstant bleibt.
Die Unordnung hat also starken Einfluß im Bereich τ < 1, und zwar in Form
von eingefrorenen Ladungen. Sobald allerdings die Linie τ = 1 überschritten
wird, existieren keine großen, eingefrorenen Ladungspaare mehr, die das kritische
Verhalten beeinflussen. Dies wird in Abschnitt 7.2 anhand der Korrelationsfunktionen
vertieft.
Nun ist es möglich, die Näherung von Rubinstein et al. [2] physikalisch zu interpretieren:
Die Existenz von eingefrorenen (unordnungserzeugten) Ladungen wird

44 5 Die asymptotische Näherung
dort völlig vernachlässigt, was für kleine Temperaturen (τ < 1) offensichtlich
falsch ist, da in diesem Bereich auch diese Ladungen einen Teil der Abschirmung
ausmachen. Insbesondere ist der Grundzustand in [2] im Gegensatz zu unseren
Überlegungen aus Abschnitt 2.2 ladungsfrei.

Kapitel 6
Vergleich von Näherung I mit
Näherung II
In diesem Kapitel werden wir die beiden Näherungen I und II vergleichen. Dazu
betrachten wir die Phasengrenze und die Entropiedichte. Wir untersuchen die
RG-Gleichungen besonders darauf, ob sie zu negativen Entropiedichten führen,
was ihre Fehlerhaftigkeit anzeigt.
Im ersten Teil wird deshalb die Entropiedichte in Näherung II bestimmt, während
wir im zweiten Teil sowohl die Phasengrenze als auch die Entropiedichte, die die
RG-Gleichungen aus Näherung I liefern, durch numerische Verfahren berechnen.
6.1 Berechnung der Entropiedichte in asymptotischer
Näherung
In diesem Abschnitt wird die Entropiedichte in Näherung II berechnet, um deren
Korrektheit zu überprüfen, da eine negative Entropiedichte einen deutlichen
Hinweis auf fehlerhafte RG-Gleichungen liefert.
Um die Entropiedichte zu bestimmen, sind zunächst einige allgemeine Vorüberlegungen
durchzuführen. Wir betrachten dazu das Renormierungsverhalten der
gesamten freien Energiedichte anhand von Gleichung (3.22):
f a (K 0 , σ 0 , Y 0 ) f g (K 0 , σ 0 , Y 0 ) = e −2l f g (K(l), σ(l), Y (l)) + f(l) =
= lim e −2l f g (K(l), σ(l), Y (l)) +f ∞ , (6.1)
l→∞
} {{ }
=0,wegen Y ∞=0
wobei vorausgesetzt wird, daß man sich innerhalb der BKT-Phase befindet, also
Y ∞ = 0. Damit läßt sich grundsätzlich die freie Energie des Systems berechnen,
indem man die Differentialgleichungen (5.11-5.14) bis l = ∞ aufintegriert und
die Größe f ∞ erhält, die natürlich von den Startwerten K 0 , σ 0 und Y0 2 abhängt;
als Anfangswert muß dabei f 0 = 0 gewählt werden.

jcpqBr
j[p]q
jcpsitr
j[pbi
jcp]j5r
j
j
l
46 6 Vergleich von Näherung I mit Näherung II
fhg$iHjBj5k
jcp]u
j[p]q
j[pLw
j[psi
j[pv
mWno
iBp]q
Abbildung 6.1: Hier ist S(100) innerhalb der BKT-Phase aufgetragen.
Ähnlich verhält es sich mit der Entropiedichte (die freie Energiedichte wurde mit
einem zusätzlichen Faktor 1/T definiert!):
S = − ∂ (
)
T f g (K 0 , σ 0 , Y 0 ) = − ∂
∂T
∂T (T f ∞) . (6.2)
Wir müssen dabei beachten, daß nicht die Temperatur renormiert wird, sondern
lediglich die Kopplungskonstante K(l) = J(l)/T , das heißt, es gilt dT/dl = 0. Die
Temperatur ist dann durch den Anfangswert der Kopplungskonstante bestimmt:
T = K0 −1 (mit J 0 = 1).
Gleichung (6.2) gilt natürlich streng nur dann, wenn die RG-Gleichungen exakt
sind. Unsere Gleichungen sind allerdings lediglich Näherungen, wobei zudem der
Replikatrick ohne Symmetrie-Brechung verwendet wurde. Die Entropiedichte soll
deshalb dazu dienen, die Korrektheit der gefundenen Gleichungen zu überprüfen.
Falls die RG-Gleichungen zu einem negativen Wert führen, zeigt dies an, daß
die verwendeten Näherungen nicht gut genug sind; dies ist zum Beispiel aus der
Behandlung des Sherrington-Kirkpatrick-Spinglases (vgl. [31]) bekannt, wo die
Replika-symmetrische Lösung nicht ausreicht, und Replika-Symmetrie-Brechung
notwendig wird. Daher wird nun untersucht, ob die RG-Gleichungen zu negativen
Werten der Entropiedichte führen können, oder ob sie immer positiv ist.
Dazu wird die Hilfsgröße S(l) eingeführt, wobei die Entropiedichte selbst durch
S = S ∞ gegeben ist:
S(l) = − ∂ [ ]
T f (l) . (6.3)
∂T
Diese Größe kann als der Beitrag zur Entropiedichte interpretiert werden, der
durch Paare mit einer Ausdehnung kleiner als a 0 e l zustande kommt. Da f 0 = 0
(vgl. (6.1)) unabhängig von den anderen Startwerten gilt, ist auch S 0 = 0. Im
folgenden soll die erste Ableitung der Größe S(l) betrachtet werden; man erhält

†
†
|[ƒ]||B|„
|[ƒ]||B|5…
|
6.1 Berechnung der Entropiedichte in asymptotischer Näherung 47
xzy0{}|B|5~
|cƒ]|B||5…
|cƒ]|B||„
|[ƒ]‡B…
|cƒ]|B‡
|cƒ]‡B‡
|[ƒ|B‰
|cƒ]|Bˆ
|[ƒ‡„
€W‚
|[ƒb{t…
Abbildung 6.2: Hier ist S(100) im Bereich sehr kleiner τ dargestellt.
mit Gleichung (5.14):
d
dl S(l) = − ∂
∂T
(
T df
dl
)
= 2π ∂
∂T
(
T 1
τ ∗ Y 2 )
. (6.4)
Man muß also den Ausdruck (2πT Y 2 (l)/τ ∗ (l)) bei festem l als Funktion des
Anfangswertes T = 1/K 0 untersuchen und entscheiden, ob diese Funktion fällt
oder steigt. Falls dieser Ausdruck für alle Parameter und Skalen l positiv ist, so
steigt die Hilfsgröße S(l) immer unter Renormierung und bleibt wegen S 0 = 0
positiv; dann hat auch die Entropiedichte S = S ∞ einen positiven Wert. Um das
zu verifizieren, wird zuerst die strenge Monotonie des Logarithmus ausgenutzt:
(6.4) hat dasselbe Vorzeichen wie
(
∂
∂T ln T 1 )
τ Y 2 . (6.5)
∗
Die Schwierigkeit besteht nun darin, daß die Funktionen τ ∗ (l) und Y 2 (l) implizit
von den Anfangswerten, also insbesondere von T = K0 −1 , abhängen. Deshalb wird
der Ausdruck (6.5) zuerst nur für l = 0 betrachtet; hier ist lediglich die Fugazität
von der Temperatur abhängig, wobei im allgemeinen ∂Y 0 /∂T ≥ 0 gilt. 1 Weiter
ist K 0 = 1/T (J 0 = 1!), und man erhält:
∂
∂T ln T ∣ {
∣∣∣l=0 1
für τ > 1
T
=
τ ∗ 0 für τ < 1 . (6.6)
Somit läßt sich die folgende Ungleichung angeben:
(
∂
∂T ln T 1 ) ∣
∣∣∣l=0
τ Y 2 = ∂ ( ) ∣ T ∣∣∣l=0
+ 1
∂Y 2
∗ ∂T τ ∗ Y 2 ∂T ∣
} {{ } } {{
l=0
}
≥0
≥0
1 Die genaue Abhängigkeit Y (T ) folgt aus (4.22).
≥ 0,
(6.7)

48 6 Vergleich von Näherung I mit Näherung II
und es gilt dS ∣
dl l=0
≥ 0.
Falls es nun möglich ist, über das Vorzeichen von (6.5) bei endlichen l eine Aussage
zu treffen, so läßt sich entscheiden, wie sich die Entropiedichte in Näherung
II verhält. Deshalb wird der Ausdruck (6.5) erneut nach l abgeleitet; wir
beschränken uns zunächst auf den Fall τ > 1 (⇒ τ ∗ = 1) und erhalten mit der
RG-Gleichung (5.11) für Y 2 den Ausdruck
∂
∂T
(
d
dl ln T 1 )
τ∗ Y 2 = −2π ∂
∂T
(
K − σK
2 ) für τ > 1. (6.8)
Im Bereich τ > 1 ist σ = σ 0 eine Konstante, da die Unordnungsstärke hier
nicht renormiert wird; außerdem bleibt die Bedingung τ > 1 während der Renormierung
bestehen, wenn sie, wie oben angenommen, für die Anfangswerte gilt.
Ausdruck (6.8) wird folglich zu
∂K
−2π (1 − 2σK)
} {{ } ∂T
>0, da τ>1
für τ > 1. (6.9)
In Anhang E wird gezeigt, daß im Gebiet τ > 1 auf beliebiger Skala l die Ungleichung
∂K < 0 gilt, woraus folgt, daß (6.9) und damit (6.4) für alle l positiv sind.
∂T
Leider ist kein analoges Argument für das Verhalten der Entropiedichte im Bereich
τ < 1 bekannt. Scheidl [1] behauptet, analytisch zeigen zu können, daß (6.8)
und damit (6.4) auch für τ < 1 positiv bleiben, und schließt daraus, daß die vorhergesagte
Entropiedichte im gesamten Parameterbereich positiv ist.
Deshalb versuchen wir nun, dieses Problem numerisch zu behandeln: Wir integrieren
die RG-Gleichungen (5.11-5.13) zusammen mit (6.4) bis zu einer endlichen
Skala numerisch auf. Dadurch berechnen wir die Größe S(l = 100); zudem überprüfen
wir die Stabilität der Ergebnisse gegenüber der Variation der Renormierungsskala
l. Dabei stellt sich heraus, daß die Beziehung S(50) = S(100) = S(150)
numerisch exakt ist. Wir nehmen also an, daß S = S ∞ ≈ S(100) gilt. Das Ergebnis
ist im Bereich der BKT-Phase in Abb. 6.1 aufgetragen.
Für kleine Temperaturen und Unordnungsstärken verschwindet die Entropiedichte,
da dort höchstens kleine Ladungspaare im System sind. In der Nähe der Phasengrenze
ändert sich dies: Für τ > 1 nimmt die Entropiedichte positive Werte
an, während wir für sehr kleine τ feststellen, daß die Entropiedichte negativ wird
(siehe Abb. 6.2).
Diese Eigenschaft des RG-Flusses wird bei folgender Modifikation der Anfangsbedingungen
noch deutlicher: Bisher wurden die Anfangsbedingungen immer so
gewählt, daß sie das 2D XY-Modell in der Villain-Näherung beschreiben. Will
man dagegen ein 2D CG mit fester, mittlerer Teilchendichte durch diese RG-
Gleichungen beschreiben, so muß man lediglich andere Anfangsbedingungen vorgeben.
Wählt man also die Anfangsbedingung von Y 2 = konst. unabhängig von
K −1 und σ, so ist die Entropie für τ > 1 positiv und für τ < 1 negativ. Daß die
Verletzung der Bedingung S ≥ 0 für das Villain-Modell weniger ausgeprägt ist,

ž
ž
6.2 Numerische Untersuchung der Flußgleichungen in Näherung I 49
žN›Q
žN›J¡
žN›L
Ž ;‘=’”“–•B—D˜/
žN›š
žN›Q
žN›JŸ
šH›L šD›Jœ
Š3‹5Œ
Abbildung 6.3: Die durchgezogene Linie gibt die Phasengrenze bei Y 2 = 0 an; die
untere gestrichelte Linie ist die Phasengrenze des Villain-Modells, und die gestichelte
Linie dazwischen zeigt die Fixpunktwerte (l = 100) einer Linie, die ein Prozent
unterhalb der Phasengrenze liegt.(Ausführliche Erklärung im Text)
liegt daran, daß zum einen die unrenormierte Fugazität für kleine Temperaturen
und Unordnungsstärken schon exponentiell klein ist und sie zum anderen mit der
Temperatur ansteigt, wie aus Gleichung (4.22) hervorgeht.
Das Auftreten einer negativen Entropiedichte weist auf die Fehlerhaftigkeit der
RG-Gleichungen hin. Dabei wird die Frage nach Replika-Symmetrie-Brechung besonders
deshalb interessant, da Tang [28] für große l die gleichen RG-Gleichungen
wie in Näherung II ohne Verwendung des Replikatricks herleitet. Andererseits ist
es auch möglich, daß die asymptotische Näherung zu diesem Fehler führt. Um dies
zu überprüfen, werden wir im folgenden Abschnitt die RG-Gleichungen (4.26-
4.29) zur numerischen Bestimmung der Entropiedichte verwenden.
6.2 Numerische Untersuchung der Flußgleichungen
in Näherung I
In diesem Abschnitt werden sowohl die Phasengrenze als auch die Entropiedichte
mit Hilfe der RG-Gleichungen in Näherung I bestimmt, um die Ergebnisse am Ende
mit denen aus Näherung II zu vergleichen (Abschnitt 5.2 bzw. 6.1). Aufgrund
der komplizierten Struktur dieser Gleichungen verwenden wir dabei numerische
Hilfsmittel.
Ein Ergebnis aus Abschnitt 5.2 war, daß die asymptotisch genäherten Gleichungen
zu ”
reentrance“-Verhalten führen. Dies gilt allerdings als unphysikalisch (Abschnitt
1.3); wir untersuchen deshalb, ob es sich dabei um ein Artefakt der asym-

¥
³
³
50 6 Vergleich von Näherung I mit Näherung II
³N°Qµ
³N°J
³N°L²
¦ §;¨=©”ª–«B¬D­/®
³N°¯
³N°Qµ
³N°J´
¯H°L² ¯D°J±
Abbildung 6.4: Neben der Phasengrenze für Y 2 = 0 und Phasengrenze des Villain-
Modells in Näherung I ist die Phasengrenze, die aus den asymptotischen Gleichungen
(Näherung II) gefunden wurde, zum Vergleich dargestellt. Für σ < 0.3 stimmen die
Ergebnisse aus Näherung I und II gut überein; für σ > 0.3 erkennt man qualitative
Unterschiede (siehe Text).
¢3£5¤
ptotischen Näherung handelt.
Dazu werden die RG-Gleichungen (4.26-4.29) bis zur Skala l = 100 numerisch
integriert, 2 und anhand des renormierten Wertes Y 2 (100) entscheiden wir, ob
ein Punkt innerhalb (Y 2 → 0) oder außerhalb (Y 2 → ∞) der BKT-Phase liegt.
Technisch geschieht dies, indem wir einen Schwellenwert (≈ 10 −10 ) vorgeben und
einen Punkt im Parameterraum zur BKT-Phase zählen, falls der renormierte
Wert Y (100) darunter liegt.
Dabei treten im Bereich sehr kleiner Temperaturen und größerer Unordnungsstärken
Probleme auf, da die Integranden aus den Termen (4.22-4.24) mit wachsenden
Werten für E und Ê singulär werden, wodurch die Integrationsroutinen die Werte
nicht hinreichend genau bestimmen können.
Darüber hinaus ist die numerische Lösung für Startwerte, die außerhalb der BKT-
Phase, aber sehr nahe an der kritischen Fläche liegen, im Bereich σ 0.3 instabil.
Dies liegt daran, daß eine solche Trajektorie bis zu sehr großen Längenskalen bei
kleinen Fugazitäten verweilt und erst dann zu großen Fugazitäten läuft. Mit unserem
Verfahren zählen wir solche Trajektorien also zur BKT-Phase; das hat zwar
nur einen geringen Einfluß auf die gefundene Phasengrenze, aber wir können nicht
erwarten, daß die renormierten Werte für K −1 und σ auf der Phasengrenze für
Y 2 = 0 aus Gleichung (5.15) liegen. Für σ 0.3 ist es jedoch empirisch Fall.
2 Dabei werden sowohl zur Auswertung der Integrale in (4.23,4.24) als auch zur Lösung
des Differentialgleichungssystems numerische Routinen verwendet, die in der NAG-Library [35]
bereitgestellt werden.

ºcÀ]ºBÁ
ºcÀ]ºBÂ
ºcÀ]ºÃ
ºcÀ]º5Ä
º
º
¼
6.2 Numerische Untersuchung der Flußgleichungen in Näherung I 51
·h¸$¹HºBº5»
ºcÀ]Å
º[À]Ä
ºcÀÃ
º[Àb¹
º[ÀÁ
½W¾¿
¹BÀ]Ä
Abbildung 6.5: Hier ist die Größe S(100) ≈ S für die RG-Gleichungen aus Näherung I
dargestellt; an der Phasengrenze steigt die Entropiedichte stark an.
Wegen dieser Instabilität betrachten wir eine Linie von Startwerten, die ein wenig
innerhalb der BKT-Phase liegen, und verfolgen deren renormierte Werte; diese
Linie wird dabei erzeugt, indem wir die Punkte der Phasengrenze verwenden
und sowohl die Unordnungsstärke als auch die inverse Kopplungskonstante um
ein Prozent verringern. In Abb. 6.3 sind neben der Phasengrenze und der entsprechenden
Linie für Y 2 = 0 (5.15) auch die renormierten Punkte zu diesen
Startwerten dargestellt. Die letzteren liegen wie erwartet unterhalb der Phasengrenze
für Y 2 = 0.
Um diese Ergebnisse mit denen aus Näherung II zu vergleichen, sind in Abb. 6.4
beide Phasengrenzen aufgetragen. Dabei erkennt man, daß bei Unordnungsstärken
σ 0.3 die Übergangstemperaturen identisch sind; ein reentrance“-Verhalten
”
wie in Näherung II kann in Näherung I nicht festgestellt werden.
Im zweiten Teil dieses Abschnitts untersuchen wir nochmals die Entropiedichte,
nun unter Verwendung der RG-Gleichungen in Näherung I, darauf, ob sie immer
positiv ist. Die allgemeinen Überlegungen können wir dabei aus Abschnitt 6.1
übernehmen. Die Renormierung der Hilfsgöße S(l) ist nach wie vor durch den
ersten Teil der Gleichung (6.4) gegeben; es ist lediglich zu beachten, daß die
Renormierung von f nun durch die Gleichung (4.25) bestimmt wird:
d
dl S(l) = − ∂
∂T
(
T df
dl
)
= πe 4l ∂
∂T
(
T
[
ln (1 + z + + z − )
]
A
)
. (6.10)
Diese Gleichung wird zusammen mit den restlichen RG-Gleichungen aus Abschnitt
4.2 numerisch integriert. Als Ergebnis ist S(100) in Abb. 6.5 dargestellt.
Hier treten die gleichen numerischen Probleme bei kleinen Temperaturen und
großen Unordnungsstärken auf wie vorher bei der Berechnung der Phasengrenze;
leider betreffen sie genau den Bereich, in dem die asymptotisch genäherten Gleichungen
die negative Entropie liefern.
Es gibt aber einen anderen Hinweis darauf, daß die Entropie auch in Näherung
I negativ wird: Wenn wir wie in Abschnitt 6.1 die Anfangsbedingungen so

Ñ
Ñ
É
È
Ë
É
52 6 Vergleich von Näherung I mit Näherung II
ÆhÇ$ÈHÉBÉ5Ê
ÉcÏ]ÉÐ
ÉcÏ]ÉÐ
ÉcÏ]ÉBÒ
É[ÏbÈ
ÈÏÕ
É[ÏÔ
ÉcÏ]Ó
É[Ï]Õ
ÌWÍÎ
Abbildung 6.6: Hier ist S(100) aufgetragen, das sich ergibt, wenn man die Startwerte
E = 5π 2 /8 und Ê = 5π2 /32 unabhängig von K und σ wählt.
abändern, daß die Fugazität unabhängig von Temperatur und Unordnungsstärke
einen konstanten Wert annimmt, 3 so erhält man einen Bereich, in dem die Entropie
klar negativ wird. Dieser Bereich in der BKT-Phase ist zwar nicht wie in
Abschnitt 6.1 genau durch τ < 1 gegeben, allerdings stimmt das qualitative
Verhalten damit überein. Die entsprechende Entropiedichte ist in Abb. 6.6 dargestellt.
Bei einem genaueren Vergleich der berechneten Entropiedichten mit den Werten
aus der asymptotischen Näherung stellen wir fest, daß das qualitative Verhalten
zwar ähnlich ist, jedoch keine quantitative Übereinstimmung vorliegt.
Zusammenfassend können wir die folgenden Aussagen treffen: Durch die Verwendung
der ursprünglichen RG-Gleichungen (Näherung I) ist eine Phasengrenze
gegeben, die kein ”
reentrance“-Verhalten aufweist. Allerdings stellt sich heraus,
daß die Entropie auch hier ein unphysikalisches Verhalten zeigt; es ist aber nicht
klar, woran dies liegt. Ein möglicher Grund könnte die vernachlässigte Replika-
Symmetrie-Brechung sein.
Die Korrektheit der RG-Gleichungen (4.26-4.29) im gesamten Parameterbereich
ist also nach wie vor fraglich. Für σ 0.3 stellen wir fest, daß durch beide
Näherung I und II die Phasengrenze gut beschrieben wird. Wie in Abschnitt 8.2
gezeigt wird, stimmt dieses Ergebnis auch sehr gut mit numerischen Simulationen
überein.
3 Dies bedeutet hier, daß die Energien E und Ê konstant gehalten werden.

Kapitel 7
Das kritische Verhalten einiger
Größen
In diesem Kapitel verwenden wir die RG-Gleichungen dazu, das Verhalten einiger
Größen am Phasenübergang zu untersuchen. Dazu zählt die Divergenz der
Korrelationslänge bei Annäherung an die BKT-Phase ebenso wie das Verhalten
der Korrelationsfunktionen des ungeordneten Systems. Von besonderer Bedeutung
für Messungen oder numerische Simulationen sind zudem die Dielektizitätskonstante,
die die Polarisierbarkeit des Systems beschreibt, und die Spin-Spin-
Korrelationsfunktion im 2D XY-Modell.
7.1 Divergenz der Korrelationslänge am BKT-
Übergang
Abgesehen von grundsätzlichen Einschränkungen der Gültigkeit der RG-Gleichungen,
die in den letzten Abschnitten untersucht wurden, stellen diese Gleichungen,
wie in Abschnitt 3.4 diskutiert, nur eine Näherung für kleine Fugazitäten
dar; da die Fugazität außerhalb der BKT-Phase stark ansteigt, werden sie dort
schnell ungültig. Trotzdem können wir das System in unmittelbarer Nähe der
BKT-Phase untersuchen. Dies ist analytisch nur mit den besser handhabbaren
asymptotisch genäherten RG-Gleichungen möglich; wir beschränken uns zunächst
auf τ > 1.
Wir wollen nun untersuchen, wie sich physikalische Eigenschaften bei einer Annäherung
”
von außen“ an die Phasengrenze ändern; das soll bei konstanter Unordnungsstärke
geschehen. Von Bedeutung ist dabei, daß RG-Trajektorien, die in
der Nähe der kritischen Fläche starten, bis zu großen Skalen bei kleinen Y bleiben
und erst dann zu großen Fugazitäten laufen. Das bedeutet, daß das System erst
auf großen Längenskalen das metallische Verhalten zeigt, und diese Längenskala
immer weiter wächst, wenn man sich der kritischen Fläche annähert.
Wir geben uns dazu einen Referenzbereich in der metallischen Phase des Systems

í
54 7 Das kritische Verhalten einiger Größen
Û'ÜWÝÞ
ßãä ßáàãâ
Û/ÜWÝÞ
à â èéëê ä èéëê
Û/Ü
ÝÞ
ì
à â ì ä
å Ü
ÝÞ
æ
àãâ æ ç
Ö×ÙØQÚ
å Ü
ÝÞ
àãâ ç
Abbildung 7.1: Hier ist Y senkrecht zur Linie (K −1 , σ) aufgetragen. Die durchgezogene
Linie stellt die kritische Fläche dar, und die gestrichelte Linie eine Trajektorie, die in
deren Nähe startet. Die Startwerte für das Villain-Modell sind durch die gepunktete
Linie gegeben.
vor, der durch die Parameter Y ref , K −1
ref
und σ ref bestimmt ist. Die beiden letzteren
sind sogar so gewählt, daß sie jenseits der Phasengrenze für Y 2 = 0 aus
Gleichung (5.15) liegen. Zusätzlich wird mit diesem metallischen Referenzbereich
eine charakteristische Länge ξ ref (z.B. die Korrelationslänge) verknüpft.
Im folgenden werden wir untersuchen, bis zu welchem l die RG-Gleichungen aufintegriert
werden müssen, um von einem unrenormierten Startpunkt in der metallischen
Phase mit der charakteristischen Länge ξ 0 und den Parametern Y 0 , K0
−1
und σ 0 durch Renormierung in die Nähe dieses Referenzpunktes zu gelangen.
Insbesondere werden Startpunkte betrachtet, die sich in der Nähe der kritischen
Fläche befinden und somit wegen des endlichen Wertes von Y 0 innerhalb der Phasengrenze
für Y 2 = 0 (5.15) liegen. Dabei wird die Abhängigkeit des notwendigen
l vom Abstand zur kritischen Fläche gesucht.
Ein geeignetes Maß für diesen Abstand ist der minimale Wert der Fugazität Y min ,
der während der Renormierung angenommen wird. Je kleiner dieser Wert ist,
desto geringer ist auch der Abstand, und Y min = 0 bedeutet dann, daß die entsprechende
Trajektorie marginal ist und auf der kritischen Fläche liegt. Dieser
Wert wird genau auf der Linie (5.15) angenommen; im folgenden sind die Parameterpaare
(Kp
−1,
σ p) immer als die Elemente dieser Linie aufzufassen, an denen
eine Trajektorie mit vorgegebenen Startwerten diese Linie überschreitet. Eine
Trajektorie ist somit entweder durch die Startwerte oder durch die Werte Y min
und (Kp
−1,
σ p) eindeutig bestimmt. Da hier alle Parameter in der Nähe dieser
Punkte (Kp −1 , σ p ) betrachtet werden, wird die Konstante der Bewegung (5.20)

7.1 Divergenz der Korrelationslänge am BKT-Übergang 55
für τ > 1 (σ = σ 0 !) dort entwickelt, und wir erhalten:
Y 2 = Ymin 2 + λ ( δK −1)2 . (7.1)
Dabei ist λ > 0 die Krümmung der Trajektorie bei (Kp −1 , σ p ), und δK −1 =
(K −1 − Kp
−1 ) ein kleiner Parameter. Der Wert λ hängt nur von K−1 p und σ p
ab. Ebenso läßt sich die RG-Gleichung für die Fugazität (5.11) um (Kp −1,
σ p)
linearisieren, und mit σ = σ p erhält man:
dY
dl
= [2 − πK (1 − σ p K)] Y ≈ π (1 − 2σ p K p ) Kp
2 Y δK −1 . (7.2)
} {{ }
γ>0
Die Größe γ ist dabei wie λ eine nicht-universelle Konstante. Wenn wir nun die
Gleichung (7.1) in die linearisierte RG-Gleichung (7.2) einsetzen, so erhalten wir:
dY
dl
= ±κY
√
Y 2 − Y 2 min , (7.3)
wobei alle nicht-universellen Vorfaktoren in κ zusammengefaßt sind. Das Vorzeichen
der Wurzel ist gleich dem Vorzeichen der Größe δK −1 . Dies wird in der
folgenden Integration der Differentialgleichung deutlicher:
Y∫
min
∫Y ref
dY
lκ =
−Y √ dY
+
Y 2 − Ymin
2 Y √ =
Y 2 − Ymin
2 Y 0
Y min
= 1 [ ( ) ( )
]
Y0
Yref
arcsec + arcsec − 2arcsec (1) .
Y min Y min Y min
(7.4)
Da nur Trajektorien, die nahe der kritischen Fläche starten, betrachtet werden,
gilt Y min ≪ Y 0 , Y ref , und man erhält mit arcsec(∞) = π/2 bzw. arcsec(1) = 0 das
folgende einfache Ergebnis:
l = πκ−1
Y min
. (7.5)
Wir werden nun das Verhalten der Länge ξ 0 in Abhängigkeit von Y min untersuchen.
Das Renormierungsverhalten von ξ ist wie für alle Längen durch den
folgenden Ausdruck gegeben:
ξ(l) = ξ 0 e −l . (7.6)
Wird l so bestimmt, daß ξ (l) = ξ ref gilt, so erhält man für die unrenormierte
Länge den Ausdruck:
ξ 0 = ξ ref e πκ−1 /Y min
. (7.7)

56 7 Das kritische Verhalten einiger Größen
Die Größe ξ ref wird dabei als Korrelationslänge im metallischen Bereich interpretiert;
ξ 0 gibt diese Größe in der Nähe des Übergangs an. Bei Annäherung an die
kritische Fläche (Y min → 0) divergiert ξ 0 . Eine Divergenz der Korrelationslänge
ist typisch für einen Phasenübergang; diese Singularität ist genau wie im reinen
System wesentlich, also kein Pol wie üblich bei Phasenübergängen zweiter Ordnung.
Um den physikalisch relevanten Zusammenhang zu erhalten, werden wir nun die
Größe Y min durch die Abweichungen von der kritischen Fläche (K0 −1 − Kc
−1 ) darstellen;
wenn wir uns auf eine Annäherung bei konstanter Unordnungsstärke beschränken,
gilt (σ 0 − σ c ) = 0. Dabei gibt das Parameterpaar (Kc
−1 , σ c ) einen
Punkt der Phasengrenze an. Wenn man die Konstante der Bewegung (5.20) für
die beiden Trajektorien, die am Punkt (Kc
−1 , σ c , Y c ) bzw. (K0 −1 , σ 0 , Y 0 ) starten,
verwendet und sie jeweils auf die Werte bei (Kp
−1,
σ p) bezieht, erhält man den
genauen Zusammenhang:
Ymin 2 = ( [
Y0 2 − Y )
c
2 − π
−3 (K )
−1
0 − Kc
−1 π +
2 σ (K 0 − K c ) − π 2 ln K ]
0
. (7.8)
K c
Diesen Ausdruck kann man nun nach den oben angegebenen Abweichungen von
der kritischen Fläche entwickeln, wobei Y0/c 2 durch Gleichung (4.22) gegeben ist;
man erhält dann
Ymin 2 = ν ( )
K0 −1 − Kc
−1 . (7.9)
Nun setzten wir dies in den Ausdruck für die Korrelationslänge ein und identifizieren
T = K −1
0 :
√
ξ 0 = ξ ref e πκ−1 / ν(T −T c) . (7.10)
Dies entspricht genau dem kritischen Verhalten der Korrelationslänge wie im
reinen System. Für τ > 1 ist der Übergang also dem BKT-Übergang ohne Unordnung
sehr ähnlich, da die Singularität der freien Energie vom gleichen Typ
ist; wenn man die üblichen RG-Argumente anwendet, erhält man nämlich:
f g ∝ ξ −2
0 ∝ e −2πκ−1√ ν(T −T c) . (7.11)
Bei schwacher Unordnung ändern sich für τ > 1 die kritischen Eigenschaften gegenüber
dem reinen System also nur geringfügig. Nach wie vor kann der kritische
Exponent, der die Divergenz der Korrelationslänge bei Annäherung an die kritische
Temperatur beschreibt, mit ν = ∞ angegeben werden. In diesem Sinne kann
man bei schwacher Unordnung nach wie vor von einem BKT-Übergang sprechen.
Im Rahmen von Näherung II wäre es möglich, dies auch für τ < 1 durchzuführen;
da die Näherung dort allerdings keine physikalische Relevanz besitzt, verzichten
wir darauf.

7.2 Physikalische Bedeutung der Replika-Korrelationsfunktionen 57
7.2 Physikalische Bedeutung der Replika-Korrelationsfunktionen
In diesem Abschnitt werden die Ladungsdichte-Korrelationsfunktionen des Systems
mit Unordnung untersucht. Die Ladungsdichte setzt sich im Villain-Modell
aus Punktladungen an den Positionen x i zusammen:
ρ (r) = ∑ i
q i δ (r − x i ) . (7.12)
Von Interesse sind dabei die beiden Korrelationsfunktionen
[〈ρ (0) ρ (r)〉] d
und (7.13)
[〈ρ (0)〉 〈ρ (r)〉] d
. (7.14)
Diese Funktionen hängen natürlich wieder nur vom Abstand r = |r| ab, da das
System nach dem Unordnungsmittel wieder isotrop und homogen ist.
Bisher wurden nur die Korrelationsfunktionen C αβ (r) im replizierten System berechnet.
Im Replika-Limes wird deren Zusammenhang mit den oben angegebenen
Größen (7.13) und (7.14) deutlich. Dazu muß man sich genau klarmachen, mit
welcher Verteilung die thermischen Mittel durchgeführt werden:
〈
lim
n→0 Cαβ (r) = lim ρ α (0) ρ β (r) 〉 =
n→0
= lim
n→0
{ 1
[Z n CG ] d
∑
ρ α (0) ρ β (r)
{q α i }
[
e −
{ [ 1 ∑
= lim
n→0 [ZCG n ] ρ α (0) ρ β (r) e −
d
{qi α }
]
α H({qα i },{Q i})
α H({qα i },{Q i})
}
=
d
(7.15)
]
Wenn man nun innerhalb des Unordnungsmittels mit der entsprechenden ungemittelten
Zustandssumme ZCG n erweitert und dabei beachtet, daß die verschiedenen
Replikas dort nicht gekoppelt sind, so erhält man das folgende Ergebnis:
{
1 [Z
lim
n→0 Cαβ CG n (r) = lim
〈ρ (0) ρ (r)〉] d
für α = β
n→0 [ZCG n ] d [ZCG n 〈ρ (0)〉 〈ρ (r)〉] d
für α ≠ β . (7.16)
Da lim n→0 ZCG
n = 1 gilt, erhält man im Replika-Limes einen Zusammenhang
zwischen den bereits bekannten und den gesuchten Korrelationsfunktionen (vgl.
Gleichungen (3.35-3.37)); dabei muß l = ln(r/a 0 ) gewählt werden:
[〈ρ (0) ρ (r)〉] d
= C (r) = − 2 r 4 Y 2 (l) , (7.17)
[〈ρ (0)〉 〈ρ (r)〉] d
= C dis (r) = − 2 r Y 2
4 dis (l) , (7.18)
C con (r) = C (r) − C dis (r) = − 2 r 4 Y 2
con (l) . (7.19)
d
}
.

58 7 Das kritische Verhalten einiger Größen
Damit haben wir einen einfachen Zusammenhang zwischen den Korrelationsfunktionen,
die man durch den Replikatrick berechnen kann, und physikalisch
relevanten Funktionen hergestellt. C dis gibt dabei den Unordnungsanteil der Gesamtkorrelationsfunktion
C an, der durch die eingefrorenen Ladungen im System
zustande kommt; im reinen Fall verschwindet C dis somit. Auch unsere Vermutung
aus Abschnitt 4 bestätigt sich nun: Ydis 2 enthält den Beitrag eingefrorener
Ladungspaare zur Gesamtfugazität Y 2 .
Von besonderem Interesse für das kritische Verhalten ist die räumliche Abhängigkeit
der Korrelationsfunktionen auf großen Längenskalen r ≫ a 0 : Mit Hilfe der
asymptotischen Darstellung der Fugazitäten (5.4-5.6) können wir diese angeben,
wenn die Fixpunktwerte K ∞ und σ ∞ bekannt sind:
⎧(
C (r) ≈ −2
a 4 0
C dis (r) ≈ −2
a 4 0
C con (r) ≈ −2
a 4 0
⎪⎨ r
√
⎪⎩
⎧(
⎪⎨ r
√
⎪⎩
⎧(
⎪⎨
√
⎪⎩
a 0
) −2πK∞(1−1/2τ ∞)
σ∞
2π 2 ln r/a 0
πτ ∞
sin(πτ ∞)
(
a 0
) −4πK∞(1−1/τ ∞)
σ∞ πτ ∞(1−τ ∞)
2π 2 ln r/a 0 sin(πτ ∞)
) −2πK∞(1−1/2τ ∞)
r
a 0
σ∞
2π 2 ln r/a 0
πτ 2 ∞
sin(πτ ∞)
) −
π
r 2σ∞
a 0
(
(
) −
π
r 2σ∞
a 0
) −
π
r 2σ∞
a 0
für τ ∞ > 1
, (7.20)
für τ ∞ < 1
für τ ∞ > 2
, (7.21)
für τ ∞ < 2
für τ ∞ > 1
. (7.22)
für τ ∞ < 1
Wir erkennen, daß der Unordnungsbeitrag C dis für τ ∞ > 1 gegenüber C con exponentiell
klein ist. Für τ ∞ < 1 allerdings sind beide Beiträge von der gleichen
Größenordnung, wobei C dis mit sinkender Temperatur immer mehr Einfluß gewinnt.
Für τ ∞ < 1 werden also durch die Unordnung auch auf großen Skalen
eingefrorene Ladungen erzeugt, die das kritische Verhalten des Systems stark
beeinflussen.
7.3 Die Dielektrizitätskonstante
Dieser Abschnitt ist besonders für numerische und experimentelle Untersuchungen
wichtig, da die k-abhängige Dielektrizitätsfunktion ɛ(k) eine meßbare Größe
ist, die den BKT-Übergang anzeigt.
Wir betrachten die Abschirmung eines infinitesimalen externen Potentials V ext (k)
durch im System anwesende Ladungen, so daß effektiv das Potential V sc (k) vorhanden
ist. Daraus ergibt sich die folgende Definition der Dielektrizitätsfunktion:
ɛ (k) = V ext (k)
V sc (k) . (7.23)
Man kann sich leicht überlegen, wie sich ɛ(k) in der metallischen Phase verhält:
Die positiven, freien Ladungen werden sich in die Potentialmulden bewegen und

7.3 Die Dielektrizitätskonstante 59
die negativen auf die Potentialberge. Dadurch wird das externe Potential auf
großen Längenskalen ideal abgeschirmt, das heißt, in der metallischen Phase ist
zu erwarten, daß
V sc (k → 0) = 0, und folglich (7.24)
ɛ(k → 0) → ∞ (7.25)
gilt. In der BKT-Phase ist die Situation dadurch anders, daß sich nicht einzelne
Ladungen frei bewegen können, sondern nur Dipole, die durch ein äußeres Feld
lediglich ausgerichtet werden. Deshalb ist nur eine geringe Abschirmung zu erwarten
und man erhält eine endliche Dielektrizitätsfunktion. Im folgenden wird
dies quantitativ behandelt.
Durch ein infinitesimales externes Potential V ext (r) wird gemäß der Linearen-
Antwort-Theorie folgende Ladungsdichte 〈ρ ind (r)〉 induziert:
〈ρ ind (r)〉 = − 1 ∫
d 2 r ′ V ext (r ′ )
T
˜C (r, r ′ )
(7.26)
mit ˜C (r, r ′ ) = 〈ρ (r) ρ (r ′ )〉 − 〈ρ (r)〉 〈ρ (r ′ )〉 .
¢
2
Da man im weiteren nur an den über die Unordnung gemittelten Größen interessiert
ist, betrachtet man die gemittelte Korrelationsfunktion [ ˜C(r, r ′ )] d =
C con (r − r ′ ) (siehe (7.19)), die nun nur vom Abstand (r − r ′ ) abhängt und man
erhält ein Faltungsintegral:
[〈ρ ind (r)〉] d
= − 1 ∫
d 2 r ′ V ext (r ′ ) C con (r − r ′ )
T
⇐⇒
¢
2
(7.27)
[〈ρ ind (k)〉] d
= − 1 T V ext (k) C con (k) .
Die k-abhängigen Größen sind dabei die entsprechenden Fourier-Transformierten;
die Fourier-Transformation einer beliebigen Funktion h(r) ist folgendermaßen
definiert:
∫
h (k) = d 2 r e −ikr h (r) . (7.28)
Den Ausdruck für [〈ρ ind (k)〉] kann man in die fouriertransformierte Poissongleichung
einsetzen, in der Potential und Ladungsdichte verknüpft sind; da man hier
die gemittelten Ausdrücke betrachtet, muß beachtet werden, daß lediglich V sc (k)
von der Unordnung abhängt, V ext (k) als von außen angelegtes Potential unordnungsunabhängig
ist: 1
¢
2
[V sc (k) − V ext (k)] d
= 4π2
k [〈ρ ind(k)〉] 2
d
= − 4π2
T k V 2 ext (k) C con (k) . (7.29)
1 Wegen der Darstellung von Z in (3.1) und T = 1/K 0 werden die Potentiale mit einem
zusätzlichen Faktor 2π definiert, was zu einem 4π 2 in der Poissongleichung führt.

60 7 Das kritische Verhalten einiger Größen
Mit (7.23) erhält man die unordnungsgemittelte Dielektrizitätsfunktion:
[
ɛ
−1 ] d
(k) = 1 −
4π2
T k 2 C con (k) . (7.30)
Für kritische Phänomene ist das Verhalten auf großen Längenskalen von entscheidender
Bedeutung. Deshalb wird nun [ɛ −1 ] d (k → 0) = [ɛ −1
0 ] d behandelt. Wie
vorher schon diskutiert, ist besonders das Verhalten am Übergang interessant,
also wenn T = T c gilt.
Der Grenzübergang k → 0 ist einfach durchzuführen, wenn man die Fouriertransformation
von C con (k) explizit ausschreibt:
{ ∫
}
[
ɛ
−1
0
]d = 1 − 4π2 1
lim d 2 r e −ikr C
T c k→0 k 2 con (r) =
= 1 − 4π2
T c
{ ∫ 1
lim
k→0 k 2
¢
2
¢
2
d 2 r
(1 − ikr − 1 )
}
2 (kr)2 C con (r) + O (k) .
(7.31)
Die ersten beiden Summanden tragen wegen der Ladungsneutralität bzw. der Isotropie
der gemittelten Korrelationsfunktionen nicht zum Integral bei; die Summanden
von linearer bzw. höherer Ordnung in k verschwinden ebenfalls, und es
bleibt der folgende Term übrig: 2
[
ɛ
−1
0
]d = 1 + 4π3
T c
∫∞
a 0
dr r3
2 C con (r) . (7.32)
Nun multiplizieren wir diese Gleichung mit 1/T c und setzten den Ausdruck (7.19)
ein. Wenn wir zusätzlich im Integral die Variablentransformation l = ln(r/a 0 )
durchführen, erhalten wir die folgende Form:
[ ]
ɛ
−1
0 d
T c
= 1 T c
− 4π3
T 2 c
∫ ∞
0
dl Ycon 2 (l) . (7.33)
Wir betrachten jetzt die RG-Gleichung (4.28) für die inverse Kopplungskonstante
und integrieren sie formal auf. Dies geschieht für eine RG-Trajektorie auf der
kritischen Fläche; deshalb dient als Anfangswert K0 −1 = 1/T c (J 0 = 0!). Man
erhält dann:
∫∞
∞ = T c + 4π 3 dl Ycon 2 (l). (7.34)
K −1
0
2 Dabei muß ein ”
cut-off“ eingeführt werden, um die ursprüngliche Gitterstruktur des Problems
zu berücksichtigen.

7.4 Kritische Exponenten im 2D XY-Modell 61
Da die Fugazität Y 2
con klein ist und mit steigendem l schnell gegen null renormiert,
ist auch das Integral in Gleichung (7.34) klein. Das heißt, zur Berechnung von
K ∞ können wir nach diesem Integral entwickeln und erhalten:
K ∞ = 1 T c
− 4π3
T 2 c
∫ ∞
0
dl Y 2
con + O ( (4π 3
T 2 c
∫ ∞
0
) ) 2
dl Ycon
2
(7.35)
Im Rahmen der Näherung für kleine Fugazitäten ist dies identisch mit der rechten
Seite von (7.33). 3 Demnach gilt:
[ ]
ɛ
−1
0 d
= K ∞ . (7.36)
T c
Dies führt am Übergang zu einem Sprung in der Größe [ɛ −1
0 ] d/T c , da diese außerhalb
der BKT-Phase wegen (7.25) null ist. Dieser Sprung ist nun nicht mehr universell,
da er wie die Übergangstemperatur von der Unordnungsstärke σ c abhängt,
bei der der Übergang stattfindet. In Abschnitt 6.2 wurde begründet, daß für
σ c 0.3 die asymptotisch genäherten Gleichungen verwendet werden können;
in diesem Bereich ist es dadurch möglich, die Sprungbedingung in Abhängigkeit
der Unordnungsstärke, die hier unter Renormierung konstant bleibt, anzugeben.
Dazu verwenden wir, daß der renormierte Punkt auf der Phasengrenze für Y 2 = 0
aus Gleichung (5.15) liegen muß:
( √ )
K −1
∞ = π 4
1 +
1 − 8σ c
π
für σ c 0.3. (7.37)
Aufgrund dieses Sprungs ist die Dielektrizitätskonstante als Meßgröße (z.B. in
den numerischen Simulationen in Kapitel 8) wichtig, da sie den Phasenübergang
deutlich anzeigt.
7.4 Kritische Exponenten im 2D XY-Modell
In diesem Kapitel wollen wir die gefundenen Ergebnisse auf das XY-Modell anwenden
und dadurch dessen kritische Eigenschaften untersuchen. Wir untersuchen
dazu die Spin-Spin-Korrelationsfunktion
[〈s k · s l 〉] d
= [ Re 〈 e i(Θ k−Θ l ) 〉] d . (7.38)
Nun nehmen wir an, daß in unserem System keine Vortizes (Ladungen) vorhanden
sind, und die Temperatur klein ist. Das bedeutet, daß man die Periodizität
3 Für den reinen Fall existieren RG-Gleichungen von Minnhagen [9], in denen diese Korrekturen
für größere Fugazitäten in der Beziehung (7.35) nicht vorkommen; für kleine Fugazitäten
stimmen diese Gleichungen natürlich mit den in dieser Arbeit berechneten überein.

62 7 Das kritische Verhalten einiger Größen
in den Winkelfreiheitsgraden nicht berücksichtigen muß, und wir bei schwacher
Unordnung (A ij klein) den Cosinus in der Hamiltonfunktion (1.2) entwickeln
können: 4
H XY [{Θ i } , {A ij }] ≈ ∑ 〈ij〉
1
2 K(Θ i − Θ j − A ij ) 2 . (7.39)
Für die unordnungsgemittelte Korrelationsfunktion (7.38) ist der folgende Ausdruck
zu berechnen:
[∑{Θ
[〈s k · s l 〉] d
= Re
i } ei(Θ k−Θ l ) e −H[{Θ i},{A ij }] ]
∑
{Θ i } e−H[{Θ i},{A ij
. (7.40)
}]
d
Da die Summe über die thermischen Freiheitsgrade hier gaußisch ist, kann man
sie ohne Mühe ausführen und erhält die folgenden Terme für Zähler und Nenner:
∑ {
}
exp i (Θ k − Θ l ) − H [{Θ i } , {A ij }] = (7.41)
{Θ i }
{
= N exp − 1 ∑ (
− iK ∑ )
A i,i+µ + δ ki − δ li (−G ij ) ×
2K
i,j
µ
(
− iK ∑ A j,j+µ + δ kj − δ lj
)},
µ
∑ {
}
exp − H [{Θ i } , {A ij }] = (7.42)
{Θ i }
{
= N exp
− 1
2K
∑ (
− iK ∑
i,j
µ
) (
A i,i+µ (−G ij ) − iK ∑ µ
A j,j+µ
)}.
Dabei ist der Vorfaktor N wie folgt gegeben: 5
N = ∑ { 1
exp
2 K ∑ }
Θ i G −1
ij Θ j . (7.43)
{Θ i } i,j
Die Auswertung der Kronecker-δ’s in (7.41) führt zu folgendem Ausdruck (G ii =
0, G ij = G ji !):
{
[〈s k · s l 〉] d
= exp − 1 }[ {
K G kl exp −i ∑ ( ∑ )}]
(G ik − G il ) A i,i+µ . (7.44)
d
i
µ
Es ist nun geschickter, das Mittel nicht über die ursprünglichen Unordnungsvariablen
{A ij } auszuführen, sondern über die kombinierte Größe { ∑ µ A i,i+µ}. Dabei
4 Dies bezeichnet man häufig als Spinwellennäherung.
5 Zur Erinnerung: µ repräsentiert einen Verschiebungsvektor auf einen Nachbarplatz; −G ij
ist die Gitter-Greensfunktion, wie sie in Abschnitt 2.1 durch Gleichung (2.15) definiert wurde
(−G ij ↔ ˜G ij !).

7.4 Kritische Exponenten im 2D XY-Modell 63
ist die Verteilung gaußisch mit Mittelwert null und dem zweiten Moment (vgl.
Abschnitt 2.1)
[( ∑ )( ∑ )] (
A i,i+µ A j,j+µ = σ 4δ ij − ∑ δ i,j+µ
). (7.45)
d
µ
µ
µ
Damit können wir das Unordnungsmittel in (7.44) ausführen und erhalten mit
Gleichung (2.11) das folgende Ergebnis:
{
[〈s k · s l 〉] d
= exp − 1 } {
K G kl exp
(G ik − G il ) ×
∑
j
= exp
− 1 2 σ ∑ i
) }
δ i,j+µ (G jk − G jl ) =
(
4δ ij − ∑ µ
{ ( ) }
1
−
K + σ G kl .
(7.46)
Damit wurde die Spin-Spin-Korrelationsfunktion in der Spinwellennäherung berechnet;
wenn wir in die Kontinuumsdarstellung wechseln, so können wir die
Korrelationsfunktion für große Abstände mit Hilfe von Gleichung (2.16) durch
folgenden Ausdruck angeben:
( ) −(1+σK)/2πK |r|
[〈s (r) · s (0)〉] d
∝
. (7.47)
a 0
Für tiefe Temperaturen und schwache Unordnung finden wir also eine algebraisch
zerfallende Spin-Spin-Korrelationsfunktion. Da die Spin-Rotationssymmetrie
in diesem Bereich zwar nicht gebrochen ist, aber die Korrelationsfunktion des
Ordnungsparameters algebraisch (nicht exponentiell) zerfällt, spricht man von
quasi-langreichweitiger Ordnung. Diese wird bei höheren Temperaturen oder Unordnungsstärken
durch Vortexanregungen zerstört.
Durch die Spinwellennäherung allein kann das kritische Verhalten des XY-Modells
so nicht zufriedenstellend beschrieben werden, da Vortizes im System vorhanden
sind, und folglich die Periodizität des Cosinus relevant wird. Aus den RG-
Untersuchungen ist allerdings bekannt, daß die Vortizes innerhalb der BKT-Phase
gebunden sind, und ihre Fugazität bzw. Dichte gegen null renormiert. Dadurch
ist für das renormierten System wieder eine Spinwellenbeschreibung möglich, allerdings
nun mit den renormierten Fixpunktparametern K∞
−1 und σ ∞. Somit hat
die Korrelationsfunktion für große r in der gesamten BKT-Phase folgendes Verhalten:
( ) −(K |r|
∞ −1 +σ ∞)/2π
[〈s (r) · s (0)〉] d
∝
. (7.48)
a 0
Hieraus erhält man direkt den Exponenten η, der den räumlichen Zerfall der
Korrelationsfunktion am Phasenübergang bestimmt, wenn man die Temperatur

64 7 Das kritische Verhalten einiger Größen
und die Unordnungsstärke so wählt, daß der Punkt auf der Phasengrenze liegt.
Die renormierten Größen liegen dann auf der Phasengrenze für Y 2 = 0 aus Gleichung
(5.15), und η ergibt sich zu:
η = 1 (
K
−1
∞
2π
+ σ ∞)
. (7.49)
Für σ = 0 ist K∞
−1 = π/2, und man erhält den bekannten Wert η = 1/4. Allgemein
gilt für eine gegebene renormierte Übergangstemperatur K∞
−1 ≤ π/2 nach
Gleichung (5.15)
η = 1
2π
{ (
K∞
−1 2 −
2
( )
K
−1
∞ + π 8
π K−1 ∞
)
für π ≤ 4 K−1 ∞ ≤ π 2
für 0 ≤ K∞ −1 ≤ π 4
. (7.50)
Mit fallender kritischer Temperatur (d.h. mit steigender Unordnung) fällt auch
der Exponent ab. Zwei Systeme mit verschiedenen Unordnungsstärken gehören
in diesem Sinne verschiedenen Universalitätsklassen an.

Kapitel 8
Die Monte-Carlo-Simulation
In der bisherigen Arbeit wurden größtenteils analytische Argumente verwendet,
um Ergebnisse wie z.B. die RG-Gleichungen zu erhalten. In den Herleitungen
wurden zudem Näherungen verwendet, die den Gültigkeitsbereich aller Überlegungen
auf den Bereich kleiner Fugazitäten beschränken. Um die Gültigkeit der
so gewonnenen Vorhersagen zu prüfen, wird in diesem Kapitel das Verhalten des
2D CG mit Unordnung numerisch durch eine Monte-Carlo-Simulation untersucht.
Im ersten Abschnitt wird eine knappe, allgemeine Einführung in die MC-Methode
gegeben und unser Algorithmus vorgestellt. Danach werden anhand der MC-
Daten die Übergangstemperaturen für einige Werte der Unordnungsstärke berechnet
und mit den analytischen Vorhersagen verglichen.
8.1 Der MC-Algorithmus
Hier werden die elementaren Ideen des numerischen Vorgehens diskutiert. Das
entscheidende Problem bei der numerischen Behandlung in der statistischen Mechanik
ist die enorme Anzahl an mikroskopischen Zuständen, die einen Beitrag
zu den physikalischen Eigenschaften des Systems liefern. Da man in der Praxis
mit Sicherheit nie alle Zustände berücksichtigen kann, wird versucht, nur die
wichtigsten Zustände 1 einzubeziehen und den großen Rest zu vernachlässigen. In
MC-Simulationen werden deshalb repräsentative Zustände auf stochastische Weise
erzeugt. Dabei muß berücksichtigt werden, daß im thermischen Gleichgewicht
detailed balance“ gilt: Die gesamte Wahrscheinlichkeit, um von einem Zustand
”
1 zu einem Zustand 2 zu springen, muß genauso groß sein wie die für den Sprung
von 2 nach 1:
P 1 P 1→2 = P 2 P 2→1 . (8.1)
Dabei ist P 1(2) die Wahrscheinlichkeit, mit der sich das System (im thermischen
Gleichgewicht) im Zustand 1(2) befindet. P 1(2)→2(1) gibt die bedingte Wahrschein-
1 Wichtig sind die Zustände, die einen großen Beitrag zur Zustandssumme liefern.

66 8 Die Monte-Carlo-Simulation
Abbildung 8.1: Durch das Hinzufügen eines Paares kann entweder ein neues Paar an
bisher unbesetzten Plätzen erzeugt oder ein vorhandenes Paar vernichtet werden. Außerdem
ist es möglich, ein einzelnes Teilchen auf einen einen benachbarten Gitterplatz
zu bewegen.
lichkeit für einen Sprung nach 2(1) an, wenn sich das System vorher im Zustand
1(2) befindet.
Im thermischen Gleichgewicht ist die Verteilung P i der Zustände {i} durch die
Boltzmannverteilung gegeben. Dann ist die einfachste Möglichkeit, detailed balance“
zu erfüllen, durch den Metropolis-Algorithmus [36] gegeben: Wenn ein
”
Zustand 1 mit Energie E 1 in einen Zustand 2 mit Energie E 2 übergehen soll, so
geschieht dies mit der Wahrscheinlichkeit P 1→2 :
{
1 für E 1 ≥ E 2
P 1→2 =
. (8.2)
e −(E 2−E 1 )/T
für E 1 < E 2
Dabei ist T die Temperatur des Systems. Der gesamte Algorithmus verläuft
dann wie folgt: Man gibt sich einen Ausgangszustand vor, durch eine elementare
Veränderung erhält man einen anderen Zustand. Mit diesen MC-Schritten
muß es möglich sein, durch wiederholte Anwendung das System von einem beliebigen
Zustand in jeden anderen zu bringen. Anhand obiger Wahrscheinlichkeiten
wählt man jetzt den neuen oder den alten Zustand aus und startet mit diesem die
Prozedur erneut. Aufgrund der ”
detailed balance“ läuft das System von einem
beliebigen Anfangszustand in das thermische Gleichgewicht, wenn man genügend
viele MC-Schritte nacheinander ausführt; dies bezeichnet man als ”
warm-up“.
Nach dem ”
warm-up“ kann man Messungen zu Gleichgewichtseigenschaften des
Systems vornehmen. Dabei müssen zwischen zwei Messungen genügend viele MC-
Schritte durchgeführt werden, um in möglichst unabhängigen Zuständen zu messen.
Der Mittelwert aller Messungen liefert das Gesamtergebnis einer Meßgröße.
Bei dieser Prozedur treten lediglich stochastische Fehler auf, die man jedoch im
Prinzip (Rechenzeit!) beliebig klein halten kann.
Hier wird der oben skizzierte Algorithmus auf ein Gittersystem für ein 2D CG
angewandt, wobei gemäß der Problemstellung (siehe Zustandssumme (2.8)) großkanonisch
gerechnet wird; Details des Algorithmus gehen auf eine Arbeit von Lee
und Teitel [37] zurück. Als elementaren MC-Schritt fügt man ein neutrales Ladungspaar,
das genau eine Gitterkonstante groß ist, an einer zufällig ausgewählte

8.1 Der MC-Algorithmus 67
Abbildung 8.2: Durch den zusätzlichen MC-Schritt können einzelne Teilchen auf
Nächste-Nachbar- oder Übernächste-Nachbar-Plätze geschoben werden, soweit diese
frei sind.
Stelle des Gitters hinzu. Wie in Abb. 8.1 graphisch dargestellt ist, können dadurch
Paare erzeugt oder vernichtet werden, oder es werden einzelne Teilchen um
einen Gitterplatz verschoben.
Um gerade bei tiefen Temperaturen die Akzeptanzrate zu erhöhen, wurde dieser
Algorithmus noch erweitert, so daß auch ein bereits vorhandenes Teilchen ausgewählt
und auf einen Nächsten- oder Übernächsten-Nachbarplatz bewegt werden
kann (siehe Abb. 8.2).
Die Energieänderung durch einen elementaren MC-Schritt läßt sich schnell ermitteln,
wenn man für jeden Gitterplatz das Potential, das durch alle vorhandenen
Ladungen erzeugt wird, bereits berechnet hat; zusätzlich muß natürlich noch das
chemische Potential eines Paares bei Erzeugung oder Vernichtung berücksichtigt
werden. Dann läßt sich sofort entscheiden, ob der Schritt angenommen wird
oder nicht. Wir müssen also die Potentialänderung an allen Plätzen nur dann
neu berechnen, wenn er akzeptiert wird. Auch die Unordnung läßt sich in diesem
Algorithmus gut einführen, indem man auf alle Nächste-Nachbar-Paare Ladungsdipole
setzt, deren Stärken unabhängigen Gauß-Verteilungen gehorchen. Aus der
resultierenden Ladungsverteilung wird das zugehörige Potential berechnet, das
im Verlaufe der Simulation als konstanter Untergrund bleibt.
Mit diesem Algorithmus können Systeme mit linearer Ausdehnung bis zu ca.
L = 32 Gitterplätzen untersucht werden. Zwischen den einzelnen Messungen
werden L 2 MC-Schritte durchgeführt; dies wird als MC-sweep“ bezeichnet. Es
”
stellt sich heraus, daß für den warm-up“ 10 4 MC-sweeps“ benötigt werden, und
” ”
daß 10 5 Messungen, die durch je einen MC-sweep“ getrennt sind, durchgeführt
”
werden müssen, um eine zufriedenstellende Statistik zu erhalten. Für große Unordnungsstärken
bzw. tiefe Temperaturen (τ = 1/2Kσ klein) ist es zudem notwendig,
über einige Unordnungskonfigurationen zu mitteln. Dies war hier bei
L = 32 aufgrund der Rechenzeit nur über ca. 10 Konfigurationen möglich. Zudem
ist es leider auch nicht möglich, bei sehr tiefen Temperaturen T = K −1 < 0.83
zu rechnen, da die Akzeptanzrate hier zu gering ist; dies kann nur durch eine
wesentliche Erhöhung der MC-Schritte (Faktor 10 2 ) pro MC-sweep“ korrigiert
”
werden, wodurch wir wiederum an die Grenzen des Rechenzeitaufwands stoßen.
Als Meßgröße dient die inverse Dielektrizitätskonstante [ɛ −1
0 ] d aus Abschnitt 7.3,
wobei wir zur Berechnung die Gleichung (7.30) verwenden: Durch die MC-Simu-

68 8 Die Monte-Carlo-Simulation
lation erhalten wir die ortsabhängige gemittelte Korrelationsfunktion C con , die
wir dann fouriertransformieren. Da wir den Grenzwert k → 0 nicht durchführen
können, verwenden wir wie von Lee und Teitel [37] vorgeschlagen den Ausdruck
[ ]
ɛ
−1
0 ≈ 1 ([ ]
d ɛ
−1
2
(2πˆx/L) + [ ɛ −1] (2πŷ/L)) , (8.3)
d d
wobei ˆx, ŷ die Einheitsvektoren in x- bzw. y-Richtung repräsentieren; das heißt,
wir mitteln über die kleinsten Wellenvektoren k ≠ 0 in der Brillouin-Zone.
8.2 Ergebnisse der MC-Simulation
Im folgenden werden wir die MC-Ergebnisse dazu verwenden, die Übergangstemperatur
in Abhängigkeit von σ zu bestimmen. Dazu wurde zu verschiedenen Temperaturen
K −1 und Unordnungsstärken die mittlere inverse Dielektrizitätskonstante
[ɛ −1
0 ] d auf einem 32 × 32-Quadratgitter bestimmt. Aufgrund des Rechenzeitaufwands
wurde [ɛ −1
0 ] d nur über fünf Unordnungskonfigurationen gemittelt.
Zu jedem Parameterpaar (K, σ) berechneten wir fünf oder sechs Datenpunkte;
der Mittelwert und die Standardabweichung dieser Werte sind in Abb. 8.3 dargestellt.
Aufgrund der Mittelung über nur wenige Unordnungsrealisierungen ist der
Fehler hauptsächlich durch die Unordnung bestimmt; deutlich wird das dadurch,
daß für steigende σ die Abweichungen wesentlich größer werden als für das reine
System.
Wie wir im letzten Abschnitt bereits festgestellt haben, können wir die Phasengrenze
lediglich im Bereich K < 1.2 untersuchen. Deshalb reichen unsere
Daten nicht aus, um eine Entscheidung über das Vorhandensein von reentrance“-Verhalten
zu treffen, das erst für K > 4/π erwartet werden kann. Wir müssen ”
uns also darauf beschränken zu untersuchen, ob bei gegebener Unordnung im Bereich
K < 1.2 ein Phasenübergang stattfindet, und wo dieser liegt. Dabei prüfen
wir die Konsistenz mit den Ergebissen aus der asymptotischen Näherung, deren
Gültigkeit wir in diesem Gebiet erwarten.
Um die Phasengrenze in diesem Bereich aus den MC-Daten zu bestimmen, wenden
wir folgende Überlegung an: In einem unendlich ausgedehnten System erkennt
man die Stelle des Übergangs dadurch, daß die inverse Dielektrizitätskonstante
einen Sprung von null auf einen endlichen Wert macht (vgl. Abschnitt 7.3).
Da wir allerdings unsere MC-Simulation auf einem endlichen Gitter (L = 32)
durchführen, kann man den Sprung durch unsere Daten nicht lokalisieren, da bei
endlichen Systemen der Phasenübergang nur verschmiert sichtbar wird. Deshalb
kombinieren wir nun die numerischen Daten mit unseren analytischen Ergebnissen:
Wir bestimmen den Übergang, indem wir die MC-Kurve mit der Sprungbedingung
aus Gleichung (7.36) schneiden. Da unser System endlich ist, existiert
eine maximale Skala l max = ln L, die hier relevant ist. Deshalb verwenden wir
nicht den Fixpunktwert der Kopplungskonstante K ∞ , sondern den entsprechenden
Wert auf der Skala der Systemgröße l max mit L = 32, das heißt, es ist die

ô
(
R
ú ÿ
ÿ
ðúû
ðúþ
"
N
N
ñ
O
%
"
m
<
5
5
5
5
`
r
C
5
8
5
r
5
8
i
9
C
8.2 Ergebnisse der MC-Simulation 69
¥¨
÷ùø õ'ö
òLó
¡ ðú
ðú
îNï[ð
¥¨
¢¤£¦¥¨§ ¥©
¥¨ ¥¨
¥¨
© ¥¨ © ¥¨
¥¨
ðúþbü ðúþ ðúý
ðúû ðúýü ðúûbü
D E
+,
@BA
)*
¨- 1
=?>
D F
&'
:;
D G
¨! "$#
¨- # 3¤4¦506 78
¦
D H
10/ ¨- 1 ¨- 2/
¨-
.0/ ¨- . ¨-
D F
D E
D E
CD C
58
CD
rs t
` s v
K¨W [
ST
no
` s c
UV
pq
PQ
jlk
` s f
K¨W \
^_¦`¨a bc¨de`¨a fg¨de`¨a chf
I¤J¦K¨L M¨N
` s t
rs ` u
t rs rYu rs r
rs
K¨W ]
K¨W Z
K¨W ZX
NYX NW N NW KX
NW
` s g u
Abbildung 8.3: Für verschiedene Unordnungsstärken sind die MC-Ergebnisse für den
[ɛ −1
0 ] d-K-Zusammenhang zusammen mit der entsprechenden Sprungbedingung (gestrichelte
Linie) aufgetragen.
folgende Gleichung als Sprungbedingung in Abb. 8.3 graphisch dargestellt:
[
ɛ
−1
0
]d (K c) = K (l max)
. (8.4)
K c
Den Wert für K(l max ) erhalten wir aus der numerischen Integration der RG-
Gleichungen (5.11-5.13) aus Näherung II. Die kritische Kopplungskonstante finden
wir aus dem Schnittpunkt dieser Linie mit unseren MC-Daten. Durch die
statistischen Fehler erhalten wir ein minimales und maximales K c , woraus wir
entsprechend T = 1/K ein minimales und maximales T c erhalten. Dadurch haben
wir Intervalle bestimmt, in denen die Übergangstemperaturen liegen sollten.
Diese sind zusammen mit den analytisch berechneten Werten in der folgenden

x
Ž
Ž
w
70 8 Die Monte-Carlo-Simulation
Ž ‹‘
Ž ‹l’
Ž ‹$
y{z}|~ €ƒ‚…„‡†‰ˆ
Ž ‹Š
Ž ‹‘
Ž ‹l
ŠŒ‹$
Abbildung 8.4: Hier sind die aus den MC-Daten berechneten kritischen Temperaturen
dargestellt; zum Vergleich ist auch die analytisch gefundene Phasengrenze aufgetragen.
Tabelle eingetragen:
σ T c numerisch T c analytisch
0 1.32 ± 0.01 1.34
0.09 1.22 ± 0.01 1.24
0.16 1.13 ± 0.01 1.15
0.25 1.02 ± 0.03 1.01
0.31 0.88 ± 0.01 0.87
0.36 < 0.83 0.58
0.49 < 0.83 kein BKT-
0.64 < 0.83 Übergang
Im letzten Bild von Abb. 8.3 ist allerdings nicht die Sprungbedingung auf endlicher
Skala aus Gleichung (8.4) aufgetragen, sondern die entsprechende Kurve mit
K ∞ für σ = 0.36; wir erkennen dabei keinen Schnittpunkt mit den MC-Kurven.
Wegen K ∞ < K(ln 32) schließen wir daraus, daß für σ ≥ 0.36 die kritische Kopplungskonstante
im Bereich K > 1.2 (T < 0.83) liegt.
Bei der Bestimmung der kritischen Temperaturen wurde auf weitere ”
finite size“-Korrekturen
verzichtet, da sich für den Fall σ = 0 herausstellte, daß diese
wesentlich geringer als die restlichen Fehler sind. Wir nehmen an, daß dies auch
für σ > 0 gilt.

8.2 Ergebnisse der MC-Simulation 71
In Abb. 8.4 sind die ermittelten kritischen Punkte zusammen mit der analytisch
gefundenen Phasengrenze (siehe Abschnitt 6.2) dargestellt. Man erkennt in dem
hier untersuchten Bereich σ 0.3 eine sehr gute Übereinstimmung der MC-Daten
mit den analytischen Ergebnissen. Darüberhinaus stimmt die Aussage, daß die
Übergangstemperatur für σ ≥ 0.36 im Bereich T < 0.83 liegt, mit den analytischen
Vorhersagen überein.

Kapitel 9
Zusammenfassung und Ausblick
Abschließend werden wir in diesem Kapitel unsere Ergebnisse zusammenfassen
und die interessantesten Probleme darstellen, deren Lösung wir nicht finden konnten.
Als Ausgangspunkt unserer Untersuchungen diente die Arbeit Scheidls [1], wobei
dessen RG-Gleichungen erneut hergeleitet wurden. Bei deren Diskussion waren
wir allerdings genauer und arbeiteten den Unterschied zwischen Näherung I
(siehe 4.2) und der asymptotischen Näherung II (siehe 5.1) deutlicher heraus, indem
wir jeweils den resultierenden RG-Fluß untersuchten. Besonderes Augenmerk
richteten wir dabei auf die Entropiedichte in der BKT-Phase und den Verlauf der
Phasengrenze selbst.
Obwohl die asymptotische Näherung für den Grenzfall großer Längenskalen hergeleitet
wurde, verwenden wir sie, wie Scheidl auch, auf allen Längenskalen, um
daraus die Entropiedichte zu berechnen. Während Scheidl nun in seiner Arbeit
argumentiert, diese sei im gesamten Parameterbereich positiv, können wir dies
auf analytischem Weg nur für τ > 1 bestätigen; unsere numerische Auswertung
von Näherung II liefern darüber hinaus Gebiete, in denen die Entropiedichte
negativ ist. Auch die numerische Berechnungen der Entropiedichte mit den
RG-Gleichungen aus Näherung I liefern qualitativ das gleiche Ergebnis. Deshalb
können wir Replika-Symmetrie-Brechung in diesem Modell nicht ausschließen.
Dies ist besonders deshalb interessant, da Tang [28] die gleichen RG-Gleichungen
wie in Näherung II ohne den Replikatrick (aber mit zusätzlichen Näherungen)
hergeleitet hat.
Ein weiterer Schwerpunkt war die Bestimmung der Phasengrenze. Näherung II
zeigt das schon mehrfach diskutierte ”
reentrance“-Verhalten für σ 0.35, wohingegen
dieses in Näherung I nicht auftritt. Beim Vergleich der beiden Näherungen
im Bereich σ 0.3 stellt sich heraus, daß der RG-Fluß im kritischen Bereich in
beiden Fällen sehr gut übereinstimmt; dies ist besonders deshalb wichtig, da die
RG-Gleichungen in asymptotischer Näherung analytisch wesentlich einfacher zu
behandeln sind.
Insgesamt sind die Ergebnisse mit dem Harris-Kriterium (vgl. Abschnitt 1.2) in

dem Sinne in Einklang, daß auch bei schwacher Unordnung eine BKT-Phase mit
gebundenen Ladungspaaren existiert.
Unabhängig von den analytischen Untersuchungen führten wir eine MC-Simulation
durch. Wir können damit im Bereich σ ≤ 0.31 eine sehr gute Übereinstimmung
der numerischen und analytischen Ergebnisse für die Phasengrenze zeigen.
Andererseits gibt es eine Vielzahl von Problemen, die wir nicht lösen konnten. An
erster Stelle steht dabei die Frage nach der Ursache für die negative Entropie. Dazu
wird eine genauere Untersuchung der vorhandenen RG-Gleichungen notwendig
sein, und man muß eventuell versuchen, verallgemeinerte RG-Gleichungen unter
Berücksichtigung von Replika-Symmetrie-Brechung herzuleiten.
Weiter ist es wichtig, mit verbesserten MC-Algorithmen das System auch bei
niedrigeren Temperaturen zu untersuchen, mit dem Ziel, dort die Phasengrenze
numerisch zu bestimmen und mit den analytischen Vorhersagen zu vergleichen.
Insbesondere wäre eine abschließende Aussage über das Auftreten von ”
reentrance“-Verhalten
wünschenswert. Besser geeignet für diese Simulation als das
hier verwendete 2D CG dürfte dabei ein 2D XY-Modell sein (vgl. Maucourt und
Grempel [21]), da hier nur kurzreichweitige Wechselwirkungen vorhanden sind,
und zudem die Akzeptanzrate auch bei kleinen Temperaturen größer sein sollte.
Abgesehen davon gibt es noch eine Vielzahl ungelöster Probleme. Insbesondere
kann man andere Arten von Unordnung an das System koppeln. Dies ist dann sehr
problematisch, wenn die unordnungsinduzierte Wechselwirkung nach der Mittelung
zwar langreichweitig, aber nicht mehr logarithmisch ist, was entscheidend in
unsere Herleitung der RG-Gleichungen eingeht (vgl. Kapitel 3).
73

Danksagung
Mein herzlicher Dank gilt
• Herrn Prof. Dr. Ulrich Eckern für die Ausgabe und Betreuung dieser Arbeit,
• Herrn Prof. Dr. Arno Kampf für die Übernahme des Korreferats,
• Herrn Dr. Dierk Bormann für die geduldige und besonders engagierte Hilfe
bei der Lösung von größeren und kleineren physikalischen Problemen,
• Frau Dipl. Phys. Cosima Schuster und Herrn Dipl. Phys. Ralf Utermann
für die allgegenwärtige Computerbetreuung,
• den restlichen Mitarbeitern des Lehrstuhls für die ständige Bereitschaft,
mir bei der Lösung verschiedenster physikalischer Probleme zu helfen,
• meinen Eltern, die mir dieses Studium erst ermöglichten,
• Frau Kerstin Becker für ihre liebevolle Hilfe in allen Lebenslagen,
• Frau Claudia Schühle, den Herren Elmar Bihler und Ulrich Christ für regelmäßige
(nicht-)wissenschaftliche Zerstreuung.

Anhang
A Herleitung von Gleichung (2.22)
In Abschnitt 2.2 wurde der Ausdruck (2.22) verwendet, der nun berechnet wird,
wobei hier die Abkürzung Ĝij = −4π 2 σK 2 G ij eingeführt wird. Zuerst wird die
Darstellung der δ-Funktion verwendet:
δ(U i − U j − v) =
∫ ∞
−∞
dλ
2π exp { iλ (U i − U j − v) } . (9.1)
Dadurch erhält man für den Term in (2.22) die Form, in der man die Integration
über die U i ausführen kann:
∫ ∞
−∞
=
dλ
2π exp { − iλv }√ | det G −1 | ∏
∏
k 8π3 σK 2 k
{
exp − 1 ∑
2
∫ ∞
−∞
k,l
dλ
2π exp { − iλv } exp
U k Ĝ −1
kl U l + iλ ∑ k
{
− 1 ∑ 2 λ2 k,l
( ∫∞
−∞
dU k
)×
}
U k (δ ki − δ kj ) =
}
(δ ki − δ kj ) Ĝkl (δ li − δ lj ) .
(9.2)
Mit der Relation Ĝii = 0 (vgl. (2.16)) gilt:
∑
(δ ki − δ kj ) Ĝkl (δ li − δ lj ) = −2Ĝij. (9.3)
k,l
Damit kann das obige Gauß-Integral auf folgende Form gebracht werden:
{ }
1
P [(U i − U j ) = v] = √ exp −
v2
. (9.4)
−2Ĝij
−4πĜij
Wenn man nun Ĝij einsetzt, so erhält man den Integranden von (2.23).

76 Anhang
B
Die Summen aus den Gleichungen (3.29) und
(3.30)
Hier sind die Summen, die in den Gleichungen (3.29) und (3.30) vorkommen,
explizit ausgeführt; außerdem wird der Wert für den Replika-Limes n → 0 angegeben.
∑
(K αγ ) 2 = (n − 1) ˆK 2 +
γ
n→0
−→ K 2 − 2K ˆK,
(
K − ˆK
) 2
= n ˆK2 − 2K ˆK + K 2
(9.5)
∑
K αγ K βγ = (n − 2) ˆK 2 − 2 ˆK
γ
α≠β
n→0
−→ −2K ˆK,
∑
K αγ K βδ = − (n − 1) ˆK
γ≠δ
∑
γ≠δ
α≠β
−
(
K − ˆK
)
(n − 1) ˆK
(
K − ˆK
)
= n ˆK 2 − 2K ˆK
(
− (n − 2) ˆK
(
+ K − ˆK
))
= (n − 1) 2 ˆK2 − 2 (n − 1) K ˆK + (n − 1) ˆK 2
n→0
−→ 2K ˆK,
K αγ K βδ = − ˆK
(
(n − 2) − ˆK
(
(n − 2) + K − ˆK
))
+ ˆK 2 (n − 1) − ˆK
(
K − ˆK
) (
(n − 2) + K − ˆK
) 2
(9.6)
(9.7)
(9.8)
n→0
−→ K 2 + 2K ˆK.

C Berechnung von (3.26-3.28) 77
C Berechnung von (3.26-3.28)
In diesem Abschnitt werden die Summen aus den Gleichungen (3.26-3.28) auf
die in Abschnitt 4.2 verwendete Form (4.22-4.24) gebracht, wobei z ± durch Gleichung
(4.21) definiert sind:
Y 2 = 1 2
= 1 [
2 e4l
∑
ν
(q γ ν )2 Y 2
ν =
∑
{q α ν }≠0,q γ ν ≠
= 1 2 e4l [
(z + + z − )
(
) ( { √ }) ]
α
exp {−2E} (qα ν )2 α
exp 2A 2Ê
qα ν
∑
{q α ν }≠0,q γ ν ≠0
(
exp {−2E}
)
α≠γ (qα ν )2 ×
( { √ }) ]
α≠γ
exp 2A 2Ê
qα ν
=
A
= 1 [
]
2 e4l (z + + z − ) (1 + z + + z − ) n−1 A.
A
=
(9.9)
Genau so verhält es sich für Y 2
dis :
Ydis 2 = 1 2
= 1 [
2 e4l
∑
ν
q γ ν qδ ν Y 2
ν =
∑
{qν α}≠0,qγ/δ
ν ≠0
= 1 2 e4l [
(z + + z − ) 2 (1 + z + + z − ) n−2 ] A.
(
) ( { √ }) ]
α
exp {−2E} (qα ν )2 α
exp 2A 2Ê
qα ν
=
A
(9.10)
Nun ist es einfach, Y 2
con zu berechnen:
Y 2
con = Y 2 − Y 2
dis = 1 2 e4l [
(z + + z − + 4z + z − ) (1 + z + + z − ) n−2] A. (9.11)
Damit sind alle Summen durch ein Gaußintegral über die Variable A ausgedrückt.

78 Anhang
D Die Integrale aus den Gleichungen (4.22-4.24)
Um die Integrale (4.22-4.24) in asymptotischer Näherung zu untersuchen, wird
nur der führende Beitrag in l des Integranden berücksichtigt. Zuerst wird das
Integral aus Gleichung (4.22) I = 2e −4l Y 2 berechnet; dabei wird die Symmetrie
des Interganden unter A → −A verwendet:
I = √ 2 ∫∞
π
0
dAe −A2
z + + z −
. (9.12)
1 + z + + z −
Wegen Gleichung (5.3) kann man im Bereich A ≥ 0 für l ≫ 1 den Anteil z −
gegenüber z + vernachlässigen, 1 und es bleibt folgendes Integral übrig:
I ≈ √ 2 ∫∞
dAe z −A2 +
. (9.13)
π 1 + z +
0
Zur Vereinfachung wird die Abkürzung α = (E 2 /2Ê)1/2 = √ πl/2σ eingeführt.
Der Integrand wird nun als geometrische Reihe dargestellt:
z + < 1 ⇐⇒ A < α
z +
∑ ∞
= z + (−1) ν z+ ν 1 + z . (9.14)
+
ν=0
z + > 1 ⇐⇒ A > α
z +
= 1
1 + z + 1 + 1 =
z +
∞∑
ν=0
(−1) ν z −ν
+ . (9.15)
Man muß das Integral also in die beiden Bereiche A ∈ [0, α) und A ∈ (α, ∞)
aufspalten und erhält:
I = √ 2 ∫∞
dAe z −A2 +
=
π 1 + z +
0
∞∑
(−1) ν I ν+1 < +
ν=0
∞∑
(−1) ν I ν > . (9.16)
ν=0
Dabei sind die Integrale I “ν wie folgt definiert (ν ≥ 0):
I < ν = 2 √ π
∫α
0
I ν > = √ 2 ∫∞
π
α
dAe −A2 z ν + = 2 √ π
e −2Eν
dAe −A2 z −ν
+ = 2 √ π
e +2Eν
∫α
0
∞
∫
α
{ √2Êν }
dA exp −A 2 + 2A , (9.17)
{ √2Êν }
dA exp −A 2 − 2A .
(9.18)
1 Dies gilt nur für σ > 0, denn für σ = 0 ist z − = z + ; andererseits ist das Integral dann
einfach zu lösen, da z ± unabhängig von A sind.

D Die Integrale aus den Gleichungen (4.22-4.24) 79
Nach der Transformation A ′ = A∓(2Ê)1/2 ν erhält man die folgenden Ausdrücke:
[ ( √2Êν ) ( √ )]
I ν
< = Φ α − − Φ −ν 2Ê , (9.19)
e−2Eν+2Êν2
[ ( √2Êν )]
= 1 − Φ α + . (9.20)
e2Eν+2Êν2
I > ν
Dabei ist Φ(x) = 2π ∫ −1/2 x
0 dx′ e −x′2 die Fehlerfunktion; für große Werte x gilt
folgende asymptotische Abschätzung:
Φ (x) ≈
{
1 −
1
√ πx
e −x2 für x ≫ 1
−1 − 1 √ πx
e −x2 für x ≪ 1 . (9.21)
Da α ∝ l, und der Limes großer l betrachtet wird, wendet man diese Näherung
an. Wenn sgn(x) als Signumsfunktion das Vorzeichen von x angibt, erhält man:
[ ( √ ) ]
≈ sgn α − ν 2Ê + 1
(9.22)
e−2Eν+2Êν2
I < ν
) − e −ν2E √π2Êν 1
,
2Êν
( √ )]
I ν
[1 > = 2Ê−ν2E − sgn α − ν 2Ê
eν2
− e 1
−α2 √ ( √
π α −
+ e 1
−α2 √ ( √2Êν ). (9.23)
π α +
In asymptotischer Näherung (l → ∞) werden in der Summe jeweils nur die
Summanden berücksichtigt, die am langsamsten mit wachsendem l verschwinden,
der Rest wird vernachlässigt.
Es muß dann beachtet werden, daß (α − ν(2Ê)1/2 ) sein Vorzeichen ändern kann,
und abhängig davon verschiedene Terme für l ≫ 1 relevant sind. Um dies zu
untersuchen, bietet sich der Term τ = E/2Ê = α/(2Ê)1/2 = 1/2σK an: Für
τ > 1 zerfällt der Ausdruck 2e −2E+2Ê am langsamsten; dieser Term tritt nur in
I 1
< auf:
I ≈ 2e −2E+2Ê. (9.24)
Für τ < 1 ist e −α2 der entscheidende Term, der in allen I “ν vorkommt. Dann muß
der folgende Ausdruck ausgewertet werden:
[ ∞
1 1
I ≈ √ e −α2
2πÊ τ + ∑
( 1
(−1) ν τ + ν + 1 ) ]
=
τ − ν
ν=1
= √
π [ 1
e −α2
2πÊ πτ + 2τ ∞∑ (−1) ν ]
= ← siehe [38], 1.422.3 (9.25)
π τ 2 − ν 2
= √
π
2πÊ
1
sin πτ e−α2 .
ν=1

80 Anhang
Wenn man die explizite l-Abhängigkeit einsetzt, erhält man als Ergebnis:
{
2e
−2πK(1−σK)l
für τ > 1
I ≈ √
2σ πτ
e π
π 2 2σ l für τ < 1 . (9.26)
l sin πτ
Als nächstes wird das Integral aus Gleichung (4.23) I dis = 2e −4l Y 2
dis untersucht:
I dis = 1 π
∫ ∞
−∞
( ) 2 z+ − z −
dA
≈ 2 1 + z + + z − π
∫ ∞
0
( ) 2 z+
dA
. (9.27)
1 + z +
Zur Berechnung schreibt man z − aus Gleichung (4.21) folgendermaßen um:
z − = ỹ˜z − , (9.28)
wobei ỹ = exp(−2E) und ˜z − = 2A(2Ê)1/2 . Dann verwendet man die folgende
Identität:
( ) 2 z+
= −ỹ 2 ∂ ( )
ỹ −1 z +
. (9.29)
1 + z + ∂ỹ 1 + z +
Da ỹ unabhängig von A ist, läßt sich das gesuchte Integral einfach berechnen:
I dis ≈ −ỹ 2 ∂ ∂ỹ
(ỹ−1 I ) = −ỹ 2 ∂E
∂ỹ
∂ (ỹ−1 I ) = 1 ∂ (ỹ−1 I ) . (9.30)
∂E 2ỹ ∂E
Für τ > 1 erkennt man, daß es nicht ausreicht, den führenden Term aus Gleichung
(9.24) zu verwenden, da man sonst als Ergebnis null erhält; dies ist nicht
möglich, da sonst I dis selbst identisch null wäre. Das heißt, man muß zur Berechnung
von I dis auch noch den nächsten Term in I berücksichtigen. Im Bereich
τ > 2 trägt (−2 exp{−4E + 8Ê}) in nächster Ordnung bei (vgl. I < 2 in Gl. (9.17)):
∂
(
)
2ỹ −1 e −4E+8Ê = ∂ ( )
2e −2E+8Ê = −4e −2E+8Ê. (9.31)
∂E
∂E
Insgesamt erhält man dann für τ > 2:
I dis ≈ 2e −4E+8Ê. (9.32)
Für τ < 2 sind die einzigen Terme, die nach der Ableitung erhalten bleiben, durch
den Faktor exp(−α 2 ), dessen Beitrag schon in Gleichung (9.25) berechnet wurde:
(
)
∂ −E2 /2Ê+2E π 1
e √
=
∂E
2πÊ sin πE/2Ê
[ (
= e −E2 /2Ê+2E π 1
√
2 1 − E )
] (9.33)
π cos πE/2Ê
− .
2πÊ sin πE/2Ê 2Ê 2Ê sin πE/2Ê

D Die Integrale aus den Gleichungen (4.22-4.24) 81
Der zweite Summand wird dabei vernachlässigt, da er zusätzlich mit 1/Ê ∝ 1/l
abfällt. Man erhält dann für I dis den folgenden Ausdruck:
{
2e
−4πK(1−2σK)l
für τ > 2
I dis ≈ √
2σ πτ(1−τ)
π 2 l sin πτ e(π/2σ)l für τ < 2 . (9.34)
Nun ist es einfach, das Integral I con = 2e −4l Ycon 2 zu berechnen; man verwendet
dabei die Bedingung Y 2 = Ydis 2 + Y con, 2 die auch in dieser Näherung gelten soll.
Daraus erhält man den folgenden Ausdruck, wenn man lediglich die für große l
dominierenden Term berücksichtigt:
I con ≈
{
2e
−2πK(1−1/2τ)l
für τ > 1
√
2σ
π 2 l
πτ 2
sin πτ e(π/2σ)l für τ < 1 . (9.35)
Somit sind alle drei Integrale in asymptotischer Näherung berechnet.

82 Anhang
E Positive Entropie für τ > 1
In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß für τ > 1 die beiden Ableitungen ∂ T Y 2
und ∂ T K nach dem Anfangswert T = K0 −1 auf allen Skalen l größer bzw. kleiner
als null sind. Vorausgesetzt wird dabei wie in Abschnitt 6.1, daß ∂ T Y0 2 ≥ 0 gilt.
Dazu betrachtet man die Ableitung ∂ T K −1 und zeigt, daß diese positiv ist. Die
Ableitung ∂ T K0 −1 = 1 ist natürlich auch positiv. Außerdem reicht es wegen
der strengen Monotonie des Logarithmus wie in Abschnitt 6.1 aus, die Größe
∂ T (ln Y 2 ) zu betrachten.
Man betrachtet zuerst die Steigung der zu untersuchenden Größen bezüglich der
Renormierungsskala l für τ > 1:
d
dl ∂ (
T K −1 = 4π 3 ∂ T Y 2 = 4π 3 Y 2 ∂ ) T ln Y
2
, (9.36)
d
dl ∂ ( )
T ln Y
2
= −2π (1 − 2σK) ∂ T K = 2πK 2 (1 − 2σK) ∂ T K −1 . (9.37)
Dadurch ist sichergestellt, daß die beiden Ableitungen ∂ T K −1 und ∂ T (ln Y 2 ) für
alle l im Bereich τ > 1 positiv sind. Dies wird nun rigoros gezeigt, indem man
einen Widerspruchsbeweis anwendet.
Dazu nimmt man an, daß eine der beiden Größen auf einer Skala l 0 negativ wird,
für die gilt:
l 0 = min { l > 0 ∣ ∣ ∂T
(
ln Y
2 ) = 0 ∨ ∂ T K −1 = 0 } . (9.38)
Wegen der stetigen Abhängigkeit der zu untersuchenden Größen von l ist sichergestellt,
daß l 0 > 0 gilt, da ∂ T K −1 (0) > 0 gilt. Dies führt sofort dazu, daß auch
∂ T (ln Y 2 ) in einem endlichen Bereich mit l > 0 auf positive Werte steigt, da
∂ T (ln Y 2 )(0) ≥ 0 gilt. Somit gilt für alle 0 < l < l 0 , daß beide Größen positiv
sind. Für die Werte der beiden zu untersuchenden Größen bei l = l 0 erhält man
also:
∣ ∫l 0
∂ T K −1 ∣∣∣l=l0
= 4π 3
(
∂ ) ∣ ∫ l 0
T ln Y
2 ∣∣l=l0 = 2π
0
(
dl ′ Y 2 ∂ )
T ln Y
2
+ ∂ T K −1 (0)
} {{ } } {{ }
>0 für 0 0.
} {{ }
>0 für 0≤l 1 gezeigt, daß für alle l > 0 ∂ T K < 0 und ∂ T Y 2 > 0 gilt, wenn
∂ T K 0 < 0 und ∂ T Y0 2 ≥ 0 vorausgesetzt wird.

Literaturverzeichnis
[1] S. Scheidl, Phys. Rev. B 55, 457 (1997).
[2] M.Rubinstein, B. Shraiman and D.R. Nelson, Phys. Rev. B 27, 1800 (1983).
[3] V.L. Berezinskiĭ, Sov. Phys. JETP 32, 493 (1970).
[4] V.L. Berezinskiĭ, Sov. Phys. JETP 34, 601 (1971).
[5] J.M. Kosterlitz and D.J. Thouless, J. Phys. C 6, 1181 (1973).
[6] J.M. Kosterlitz, J. Phys. C 7, 1046 (1974).
[7] J.M. Kosterlitz and D.J. Thouless, ”Two-dimensional Physics”, in Progress
in Low Temperature Physics Vol. VIIB. North-Holland, Amsterdam, 1978.
[8] B. Nienhuis, ”Coulomb Gas Formulation of Two-dimensional Phase Transition”,
in Phase Transitions and Critical Phenomena, Vol. 11 (C. Domb and
J.L. Lebowitz eds.). Academic Press, London, 1987.
[9] P. Minnhagen, Rev. Mod Phys. 59, 1001 (1987).
[10] D.R. Nelson, ”Defect-mediated Phase Transition”, in Phase Transitions and
Critical Phenomena, Vol. 7 (C. Domb and J.L. Lebowitz eds.).
Academic Press, London, 1983.
[11] J.L. Cardy,
”Scaling and Renormalization in Statistical Physics”.
University Press, Cambridge, 1996.
[12] C. Itzykson and J.-M.Drouffe,
”Statistical Field Theory: 1 and 2”.
University Press, Cambridge, 1989.
[13] N.D. Mermin and H. Wagner, Phys. Rev. Lett. 17, 1133 (1966).
[14] P.C. Hohenberg, Phys. Rev. 158, 383 (1967).
[15] J. Villain, J. Phys (Paris) 36, 581 (1975).

84 LITERATURVERZEICHNIS
[16] J.V. José, L.P. Kadanoff, S. Kirkpatrick and D.R. Nelson,
Phys. Rev. B 16, 12 (1977).
[17] A.B. Harris, J. Phys. C 7, 1671 (1974).
[18] E. Granato and J.M. Kosterlitz, Phys. Rev. B 33, 6533 (1986).
[19] M.G. Forrester, H.J. Lee, M. Tinkham and C.J. Lobb,
Phys. Rev. B 37, 5966 (1988).
[20] S.P. Benz, M.G. Forrester, M. Tinkham and C.J. Lobb,
Phys. Rev. B 38, 2869 (1988).
[21] J. Maucourt and D.R. Grempel, Phys. Rev. B 56, 2572 (1997).
[22] A. Chakrabarti and C. Dasgupta, Phys. Rev. B 37, 7557 (1988).
[23] M.G. Forrester, S.P. Benz and C.J. Lobb,
Phys. Rev. B 41, 8749 (1990).
[24] S.E. Korshunov, Phys. Rev. B 48, 1124 (1993).
[25] Y. Ozeki and H. Nishimori, J. Phys. A 26, 3399 (1993).
[26] T. Nattermann, S. Scheidl, S.E. Korshunov and M.S. Li,
J. Phys. I (France) 5, 565 (1995).
[27] M.-C. Cha and H.A. Fertig, Phys. Rev. Lett. 74, 4867 (1995).
[28] L.H. Tang, Phys. Rev. B 54, 3350 (1996).
[29] P.M. Chaikin and T.C. Lubensky,
”Principles of Condensed Matter Physics”.
University Press, Cambridge, 1995.
[30] S.F. Edwards and P.W. Anderson, J. Phys. F 5, 965 (1975).
[31] V.S. Dotsenko, M.V. Feigel’man and L.B. Ioffe,
”Spin Glasses and Related Problems”,
Sov. Sci. Rev. A. Phys. 15,1-250 (1990).
[32] G. Parisi, J. Phys. A 13, L115, 1101 and 1887 (1980).
[33] M. Abramowitz and I.A. Stegun eds.,
”Handbook of Mathematical Functions”.
Dover Publication, New York, 1970.

LITERATURVERZEICHNIS 85
[34] I.N. Bronstein und K.A. Semendjajew (1991)
Taschenbuch der Mathematik“.
”
Verlag Harri Deutsch, Frankfurt/Main.
[35] The Numerical Agorithms Group Ltd.
”The NAG Fortran Library, Mark 17.”(1996)
[36] N. Metropolis, A. Rosenbluth, M. Rosenbluth, A. Teller and E. Teller,
J. Chem. Phys. 21, 1087 (1953).
[37] J.-R. Lee and S. Teitel, Phys. Rev. B 46, 3247 (1992).
[38] I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik; A. Jeffrey, editor,
”Tables of Integrals, Series, and Products. Fifth Edition”.
Academic Press, San Diego, 1994.